Question

19．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)）．
（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；
（2）設(shè)星球半徑為R，宇航員乘坐的宇宙飛船在離星球高H處圓周運(yùn)動(dòng)的線速度；
（3）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 （1）豎直上拋運(yùn)動(dòng)返回地面時(shí)的速度和拋出時(shí)的速度大小相等，方向相反，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得出加速度之比，從而得出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，求解宇宙飛船的線速度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比

解答 解：（1）設(shè)豎直上拋小球初速度為v，星球表面重力加速度為g′，根據(jù)題意知：
在地球表面，有：t=$\frac{2v}{g}$
在星球表面，有：5t=$\frac{2v}{g′}$
聯(lián)解各式得：g′=2m/s²
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，得
  G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+H}$
在星球表面，有 mg′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得 v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{5（R+H）}}$
（3）小球在地球或星球表面附近受到的萬(wàn)有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：G$\frac{{M}_{星}m}{{R}_{星}^{2}}$=mg′
地球表面附近：G$\frac{{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$=mg
由題得：R_星：R_地=1：4
解得  M_星：M_地=1：80
答：
（1）該星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（2）宇宙飛船在離星球高H處圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{5（R+H）}}$．
（3）星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，會(huì)根據(jù)重力加速度之比求出天體的質(zhì)量之比．