Question

7．我國首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，2007年10月24日，“嫦娥一號(hào)”繞月探測(cè)衛(wèi)星發(fā)射成功．以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問題，請(qǐng)你解答：
（1）若已知地球質(zhì)量為M，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．萬有引力常量為G，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v0水平拋出一個(gè)小球，小球落回到月球表面的水平距離為x．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力列式求解半徑；
（2）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，月球的軌道半徑為r，則：
$\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得：$r=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{4π}}}$
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g_月，由平拋運(yùn)動(dòng)基本公式得：
x=v₀t
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：$g=\frac{{2h{v_0}^2}}{x^2}$
根據(jù)$\frac{{G{M_月}m}}{R^2}=mg$
解得：${M_月}=\frac{{2h{R^2}v_0^2}}{{G{x^2}}}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4π}}$．
（2）出月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2h{R}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進(jìn)行列式求解．