Question

質(zhì)量為m的小球懸掛于O點，懸線長為l，如圖建立平面直角坐標系xOy，y軸沿懸線豎直向下．現(xiàn)將小球拉到（l，0）點后無初速釋放，不計空氣阻力和釘子的直徑，試計算：
（1）如果在（0，l）點釘一枚釘子可以擋住細線，那么細線剛碰到釘子后對小球的拉力是多大？
（2）如果將釘子釘在y=

l

2

的水平虛線上某位置，要求細線碰到釘子后能夠繞釘子做圓周運動通過最高點，那么釘子所釘?shù)奈恢玫臋M坐標x應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機械能守恒定律求解出最低點速度，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）碰釘子后的圓周運動的半徑越小越容易滿足條件；根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式后聯(lián)立求解出臨界半徑．

解答：解：（1）設(shè)小球擺到豎直位置時速度大小為v．
由機械能守恒得：mgl=

1

2

mv2；
與釘子碰后：F-mg=m

v2

1 2 r

；
解得：F=5mg；
（2）設(shè)小球恰能通過最高點時繞釘子轉(zhuǎn)動的半徑為r′，在最高點的速度大小為v′
則在最高點，有mg=m

v′2

r′

由機械能守恒：mg（

1

2

l-r′）=

1

2

mv′2
聯(lián)立解得：r′=

1

3

l
設(shè)釘子橫坐標x₁，根據(jù)幾何關(guān)系，有：
 

x

2 1

+(

l

2

)2=（l-r′）²，
解得x₁=±

7

6

l
由于釘子必定在以O(shè)圓心半徑為l的圓內(nèi)，設(shè)直線y=

1

2

l與該圓的交戰(zhàn)橫坐標為x₂，則有
 

x

2 2

+(

1

2

l)2=l² 
解得x₂=±

3

2

l
所以要使小球夠繞釘子做圓周運動通過最高點，釘子在直線y=

l

2

的橫坐標范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l
答：（1）當(dāng)釘子在（0，

l

2

）點時，細線剛碰到釘子時的拉力為5mg；
（2）釘子所釘?shù)奈恢玫臋M坐標x的范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l．

點評：本題關(guān)鍵找出臨界過程，然后根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解，不難．