Question

9．由于銀河系外某雙黑洞系統(tǒng)的合并，北京時間2016年2月11日，美國國家科學基金會（NSF）宣布人類首次直接探測到了引力波，印證了愛因斯坦的預言．其實中國重大引力波探測工程“天琴計劃”也已經于2015年7月份正式啟動，“天琴計劃”的其中一個階段就是需要發(fā)射三顆地球高軌衛(wèi)星進行引力波探測，假設我國發(fā)射的其中一顆高軌衛(wèi)星以速度v沿圓形軌道環(huán)繞地球做勻速圓周運動，其周期為T，地球半徑為R，引力常量為G，根據以上所給條件，試求：
（1）地球的質量M；
（2）地球的平均密度（已知球體體積V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 根據在地球表面萬有引力等于向心力公式先計算出地球質量，再根據密度等于質量除以體積求解．

解答 解：（1）地球衛(wèi)星做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
解得：$M=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）$ρ=\frac{M}{V}$
地球體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
解得：$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）地球的質量M為$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）地球的平均密度$\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點評 該題關鍵抓住在地球表面萬有引力提供向心力和密度公式，難度不大．