Question

9．由于銀河系外某雙黑洞系統(tǒng)的合并，北京時(shí)間2016年2月11日，美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)（NSF）宣布人類首次直接探測(cè)到了引力波，印證了愛(ài)因斯坦的預(yù)言．其實(shí)中國(guó)重大引力波探測(cè)工程“天琴計(jì)劃”也已經(jīng)于2015年7月份正式啟動(dòng)，“天琴計(jì)劃”的其中一個(gè)階段就是需要發(fā)射三顆地球高軌衛(wèi)星進(jìn)行引力波探測(cè)，假設(shè)我國(guó)發(fā)射的其中一顆高軌衛(wèi)星以速度v沿圓形軌道環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T，地球半徑為R，引力常量為G，根據(jù)以上所給條件，試求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）地球的平均密度（已知球體體積V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 根據(jù)在地球表面萬(wàn)有引力等于向心力公式先計(jì)算出地球質(zhì)量，再根據(jù)密度等于質(zhì)量除以體積求解．

解答 解：（1）地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
解得：$M=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）$ρ=\frac{M}{V}$
地球體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
解得：$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）地球的平均密度$\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點(diǎn)評(píng) 該題關(guān)鍵抓住在地球表面萬(wàn)有引力提供向心力和密度公式，難度不大．