Question

8．假設(shè)在地球赤道上豎直固定一根用納米材料制作的橫向硬度極大、長(zhǎng)度又可控制伸縮的長(zhǎng)桿，這長(zhǎng)桿可伸長(zhǎng)到比地球同步衛(wèi)星還高的軌道上，長(zhǎng)桿上端固定有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，桿的最長(zhǎng)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，請(qǐng)你分析桿由地面緩慢地伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)的過(guò)程，小球受到桿的作用力的變化情況．

Answer 1

分析 桿由地面緩慢地伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)的過(guò)程，小球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不變，等于地球自轉(zhuǎn)的角速度ω，當(dāng)桿伸長(zhǎng)到地球同步衛(wèi)星的軌道時(shí)，小球受到的地球引力等于向心力，小球在地面上時(shí)，受到桿的支持力和地球引力，
當(dāng)桿伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)時(shí)，受到桿的拉力和地球引力，根據(jù)合力提供向心力求解小球受到桿的作用力的變化情況．

解答 解：桿由地面緩慢地伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)的過(guò)程，小球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不變，等于地球自轉(zhuǎn)的角速度ω，當(dāng)桿伸長(zhǎng)到地球同步衛(wèi)星的軌道時(shí)，小球受到的地球引力等于向心力，
所以：桿對(duì)小球的作用力F_N=0，
小球在地面上時(shí)，受到桿的支持力和地球引力，如圖示

有：$\frac{GMm}{R^2}-{F_N}=m{ω^2}R$
又：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
得：${F_N}=m（g-{ω^2}R）$
當(dāng)桿伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)時(shí)，受到桿的拉力和地球引力，如圖示

有：$\frac{GMm}{{{{（R+L）}^2}}}+{F_N}=m{ω^2}（R+L）$
得：${F_N}=m{ω^2}（R+L）-\frac{{mg{R^2}}}{{{{（R+L）}^2}}}$
答：桿由地面伸長(zhǎng)到地球同步衛(wèi)星的軌道的過(guò)程中，桿對(duì)小球的向上的支持力從m（g-ω²R）減小到0，
桿由地球同步衛(wèi)星軌道伸長(zhǎng)到L過(guò)程中，桿對(duì)小球的向下的拉力從0增加到$m{ω^2}（R+L）-\frac{{mg{R^2}}}{{{{（R+L）}^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式的直接應(yīng)用，知道球在地面上時(shí)，受到桿的支持力和地球引力，合力提供向心力，當(dāng)桿伸長(zhǎng)到L長(zhǎng)時(shí)，受到桿的拉力和地球引力，合力提供向心力，再根據(jù)向心力公式求解，難度適中．