Question

14．宇宙中兩顆相距較近的天體稱(chēng)之為“雙星”，它們以?xún)烧哌B線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起、雙星的質(zhì)量A為m₁，B為m₂，兩者相距為L(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)情景如圖所示．（已知萬(wàn)有引力常量為G）求：
（1）雙星的角速度．
（2）行星A所受B的引力F可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為M的星體（可視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力．試求M（用m₁、m₂表示）

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出角速度的大小和每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；
根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力求中心體質(zhì)量．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力定律和向心力公式：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²r₁=m${\;}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$
r₁+r₂=L
聯(lián)立解得ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$
（2）行星A所受B的引力F可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為M的星體，
則G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m${\;}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$
即M=$\frac{{ω}^{2}{r}_{1}^{3}}{G}$=（$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$）²•（$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$）³$\frac{1}{G}$=$\frac{{m}_{2}^{3}{L}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．
答：（1）雙星的角速度為$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．
（2）行星A所受B的引力F可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為M的星體（可視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力M=$\frac{{m}_{2}^{3}{L}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．