Question

9．宇宙中有一星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的9倍，半徑約為地球半徑的一半．若在地球上h高處水平拋出一物體，射程是30m，設(shè)在地球的第一宇宙速度約為8km/s，試求：
（1）在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，水平射程是多少？
（2）至少以多大的速度拋出，物體才不會落回該星球的表面？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，得出星球與地球的重力加速度之比，根據(jù)平拋運(yùn)動的知識得出水平位移，通過重力加速度的關(guān)系得出水平位移的關(guān)系，從而得出在星球上平拋運(yùn)動物體的射程．
（2）第一宇宙速度等于貼近星球表面做勻速圓周運(yùn)動的速度，是最小的發(fā)射速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，得出星球和地球的第一宇宙速度之比，從而求出在星球上物體拋出的速度，以至于物體不會落回該星球的表面．

解答 解：（1）物體做平拋運(yùn)動時(shí)，有：
水平位移x=v₀t                                       
豎直位移h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得x=v₀$\sqrt{\frac{2h{R}^{2}}{GM}}$
所以$\frac{{x}_{星}}{{x}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{星}^{2}}{G{M}_{星}}}$：$\sqrt{\frac{{R}_{地}^{2}}{G{M}_{地}}}$=$\frac{1}{6}$
x_星=$\frac{1}{6}{x}_{地}$=$\frac{1}{6}$×30=5m                               
（2）發(fā)射環(huán)繞星球表面運(yùn)行的飛行物時(shí)，有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由此可得，$\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{星}}}$=$\sqrt{\frac{9}{1}•\frac{2}{1}}$=3$\sqrt{2}$
即：v_星=3$\sqrt{2}$•v_地=24$\sqrt{2}$km/s
答：（1）在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程是10m．
（2）以24$\sqrt{2}$km/s的速度拋出，物體才不會落回該星球的表面．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能熟練運(yùn)用．