Question

6．如圖，水平直線軌道OB與豎直的四分之一光滑圓弧軌道AB相切于B點，O為圓心，半徑R=1m，A點與O點等高，勁度系數(shù)k=10³N/m的輕彈簧一端固定在D點擋板處，另一端為自由端在C點．BC=0.9m，將質(zhì)量m=1kg的小物塊從A點靜止釋放，觀察到物塊反彈回來后剛好到達(dá)B點．已知物塊水平軌道的動摩擦因數(shù)μ=0.5，g=10m/s²．

（1）求出彈簧的最大壓縮量及物塊在水平軌道上運動過程中的最大加速度數(shù)值a；
（2）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點釋放后，求彈簧被壓縮的最大彈性勢能E_p及物塊第一次返回圓弧軌道上B點時軌道對物塊支持力大小F_N；
（3）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點正上方h=5m高處釋放落下，并從A點切入軌道，求物塊最終的靜止位置離C點的距離．

Answer 1

分析 （1）對全程，運用功能關(guān)系列式，可求得物塊相對B向左滑動的距離s，即可得到彈簧的最大壓縮量．當(dāng)彈簧的壓縮量最大，物塊的加速度最大，由牛頓第二定律求及物塊在水平軌道上運動過程中的最大加速度數(shù)值a；
（2）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點釋放后，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求彈簧被壓縮的最大彈性勢能E_p．求出物塊第一次返回圓弧軌道上B點時的速度，由牛頓第二定律求軌道對物塊支持力大小F_N；
（3）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點正上方h=5m高處釋放落下，對整個過程，運用功能關(guān)系列式，可求得物塊最終的靜止位置離C點的距離．

解答 解：（1）設(shè)物塊相對B點向左滑動的最大距離為s，全程由功能關(guān)系得：
-2μmgs=0-mgR
解得：s=1m
彈簧的最大壓縮量為：△x=s-$\overline{BC}$=1-0.9=0.1m
向左滑行剛要速度減為零時加速度最大，設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律得：
k△x+μmg=ma
解得：a=105m/s²．
（2）由功能關(guān)系得：
-μmg$\overline{BC}$=E_p-mgR
解得，彈簧被壓縮的最大彈性勢能為：E_p=5.5J
返回B點的速度為v_B．由動能定理得：
mgR-2μmg$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=12N
（3）設(shè)物塊在BC段總路程為x，對整個過程，運用動能定理得：
mg（h+R）-μmgx=0
解得：x=12m=13×0.9m+0.3m
所以物塊最終位置在C右側(cè)距C點0.3m處
答：（1）彈簧的最大壓縮量是0.1m，物塊在水平軌道上運動過程中的最大加速度數(shù)值a是105m/s²；
（2）彈簧被壓縮的最大彈性勢能E_p是5.5J，物塊第一次返回圓弧軌道上B點時軌道對物塊支持力大小F_N是12N；
（3）物塊最終位置在C右側(cè)距C點0.3m處．

點評 本題涉及力在空間的效果，要優(yōu)先功能關(guān)系或動能定理，要知道滑動摩擦力做功與總路程有關(guān)，要正確分析能量的轉(zhuǎn)化情況．