Question

4．如圖所示，光滑絕緣的半圓形軌道固定于豎直平面內(nèi)，半圓形軌道與光滑絕緣的水平地面相切于半圓的端點A．一質(zhì)量為1kg的小球在水平地面上勻速運動，速度為v=6m/s，經(jīng)A運動到軌道最高點B，最后又落在水平地面上的D點（圖中未畫出）．已知整個空間存在豎直向下的勻強電場，小球帶正電荷，小球所受電場力的大小等于2mg，g為重力加速度．
（1）當軌道半徑R=0.1m時，求小球到達半圓形軌道B點時對軌道的壓力；
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，求軌道半徑的最大值；
（3）軌道半徑多大時，小球在水平地面上的落點D到A點距離最大，且最大距離為多少？

Answer 1

分析 （1）先由動能定理求出小球到達B點時的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）當小球?qū)�軌道的壓力恰好為零時，求出軌道半徑的最大值R_m；
（3）小球離開B點后做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，再根據(jù)初速度和時間求出平拋運動的水平位移表達式，與第1題中小球經(jīng)過B點的速度聯(lián)立，運用數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）設小球到達圓軌道B點時速度為v，從A到B的過程中重力和電場力做功，由動能定理有：
-2mgR-2mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：${v}_{B}=\sqrt{{v}^{2}-12gR}$
據(jù)牛頓第二定律有：F_N+mg+2mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ 
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=210N
牛頓第三定律可知，小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力為：F_N′=F_N=210N，方向豎直向上．
（2）軌道半徑越大，小球到達最高點的速度越小，當小球恰好到達最高點時，軌道對小球的作用力為零，則小球?qū)�軌道的壓力也為零，此時軌道半徑最大，則：
$\frac{m{v}_{min}^{2}}{R′}=mg+2mg$
又：-2mgR′-2mg•2R′=$\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得軌道半徑的最大值：R′=0.24m
（3）設小球類平拋運動的時間為t，在豎直方向上小球的加速度：a=$\frac{mg+2mg}{m}=3g$
所以有：2R″=$\frac{1}{2}•3g•{t}^{2}$
得：t=2$\sqrt{\frac{R″}{3g}}$
水平位移為：x=v_Bt=$\sqrt{{v}^{2}-12gR″}$•2$\sqrt{\frac{R″}{3g}}$=$2\sqrt{\frac{R″}{3g}（{v}^{2}-12gR″）}$
當$\frac{R″}{3g}={v}^{2}-12gR″$時，水平位移x最大．
得：R″=0.2999m＞R′
結合（2）的解答可知，當圓的半徑為0.24m時，D到A的距離最大，
代入數(shù)據(jù)求得D到A最大距離為：x_max=0.48m，
答：（1）當軌道半徑R=0.1m時，小球到達半圓形軌道B點時對軌道的壓力是210N；
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，軌道半徑的最大值是0.24m；
（3）軌道半徑是0.24m大時，小球在水平地面上的落點D到A點距離最大，且最大距離為0.48m．

點評 本題綜合運用了動能定理、牛頓第二定律、平拋運動，綜合性較強，關鍵理清過程，選擇適當?shù)亩ɡ砘蚨�律進行解題．