Question

14．小明設(shè)計(jì)了如圖所示的由斜面和部分圓弧光滑連接組成的軌道來發(fā)射火箭．斜面傾角為θ，長為l，圓弧半徑為R．一質(zhì)量為m的火箭從A處由靜止沿斜面下滑，經(jīng)圓弧轉(zhuǎn)向后在B處豎直向上起飛．設(shè)火箭發(fā)動機(jī)推力F恒定，且始終與火箭運(yùn)行方向一致．火箭與斜面間的摩擦系數(shù)為μ，圓弧光滑，不計(jì)空氣阻力，且火箭在運(yùn)行過程中質(zhì)量保持不變，重力加速度為g．求火箭
（1）沿斜面運(yùn)動的加速度a；
（2）從靜止運(yùn)動到B處，發(fā)動機(jī)所做的功；
（3）從B點(diǎn)起飛的速度v；
（4）在最低點(diǎn)C處對軌道的正壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求沿斜面運(yùn)動的加速度a；
（2）由幾何關(guān)系求出從靜止運(yùn)動到B處火箭通過的路程s，再由W=Fs求發(fā)動機(jī)所做的功；
（3）由功能原理求出火箭從B點(diǎn)起飛的速度v；
（4）由功能原理求出火箭通過C點(diǎn)的速度．在最低點(diǎn)C處，由合力提供向心力，由牛頓定律求對軌道的正壓力．

解答 解：（1）火箭沿斜面運(yùn)動時，由牛頓第二定律，有：
mgsinθ-μmgcosθ+F=ma                            
得：a=gsinθ-μgcosθ+$\frac{F}{m}$                              
（2）由幾何關(guān)系得從靜止運(yùn)動到B處火箭通過的路程為：
s=l+（θ+$\frac{π}{2}$）R                                       
火箭發(fā)動做功為：
W=Fs=F[l+（θ+$\frac{π}{2}$）R]
（3）從開始到B點(diǎn)的過程，由功能原理，有：
mglsinθ+W-μmglcosθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgRcosθ
解得：v=$\sqrt{2（glsin-μglcosθ-gRcosθ+\frac{W}{m}）}$           
（4）設(shè)火箭在最低點(diǎn)C時的速度為v_C，從C到B的過程，由功能原理，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+F•$\frac{π}{2}$R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgR
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律，有：
F_N′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_N′=3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF                                  
由牛頓第三定律，得在最低點(diǎn)C處對軌道的正壓力大小為：F_N=F_N′=3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF，方向豎直向下．              
答：（1）沿斜面運(yùn)動的加速度a是=gsinθ-μgcosθ+$\frac{F}{m}$；
（2）從靜止運(yùn)動到B處，發(fā)動機(jī)所做的功是F[l+（θ+$\frac{π}{2}$）R]；
（3）從B點(diǎn)起飛的速度v是$\sqrt{2（glsin-μglcosθ-gRcosθ+\frac{W}{m}）}$；
（4）在最低點(diǎn)C處對軌道的正壓力是3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF，方向豎直向下．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要熟練運(yùn)用功能原理求速度，也可以根據(jù)動能定理求速度．要注意火箭發(fā)動機(jī)推力F是變力，由于方向始終與火箭運(yùn)行方向相同，所以推力做功可以由公式W=Fs．