Question

7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)分布有方向豎直向下、寬度為2d的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀水平向右射出，穿過(guò)勻強(qiáng)電場(chǎng)后恰好打在x軸上的G點(diǎn)，且速度方向與x軸正方向成θ=60°夾角斜向下．若A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$d），G點(diǎn)坐標(biāo)為（3d，0），粒子重力不計(jì)．
（1）試求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）若撤去電場(chǎng)，在該坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)加上一個(gè)方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的圓形磁場(chǎng)，粒子扔按原方向入射，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后粒子仍打在x軸上的G點(diǎn)，且速度方向與x軸正方向成θ=60°夾角斜向下，試求該圓形磁場(chǎng)的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解求出粒子到達(dá)電場(chǎng)的邊界時(shí)的位置，再用平拋運(yùn)動(dòng)的公式即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力的公式，可由牛頓第二定律求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r，然后結(jié)合幾何關(guān)系判斷出磁場(chǎng)的最小半徑和最小面積．

解答 解：（1）粒子沿與x軸正方向成θ=60°夾角斜向下穿過(guò)x軸如圖，可知：

$\frac{\overline{BC}}{\overline{CG}}=tan60°=\sqrt{3}$
所以：$\overline{BC}=\sqrt{3}\overline{CG}=\sqrt{3}×（3d-2d）=\sqrt{3}d$
粒子在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：2d=v₀t
豎直方向：$（2\sqrt{3}d-\sqrt{3}d）=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：$a=\frac{qE}{m}$
聯(lián)立得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力，所以：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
又由題意，粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是60°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 的軌跡如圖：

由圖可知當(dāng)粒子的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線恰好是磁場(chǎng)的直徑時(shí)，磁場(chǎng)的面積最�。�此時(shí)：
$\frac{R}{r}=sin\frac{60°}{2}=sin30°=0.5$
所以：R=0.5r
所以磁場(chǎng)的最小面積：S=πR²=$\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{4q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
（2）該圓形磁場(chǎng)的最小面積是$\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{4q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．