Question

18．如圖所示，在正交坐標(biāo)系Oxyz中，分布著電場(chǎng)和磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．在Oyz平面的左方空間內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在Oyz平面右方、Oxz平面上方的空間內(nèi)分布著沿z軸負(fù)方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在Oyz平面右方、Oxz平面下方分布著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的微粒從P點(diǎn)靜止釋放，已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5a，-2a，0），電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$，不計(jì)微粒的重力．求：
（1）微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v和時(shí)刻t₁；
（2）微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)和時(shí)刻t₂；
（3）假設(shè)在平面Oyz存在一層特殊物質(zhì)，使微粒每次經(jīng)過(guò)Oyz平面時(shí)，速度大小總變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，求在時(shí)刻t₃=t₂+$\frac{9πm}{2qB}$時(shí)，電荷所在位置的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在電場(chǎng)中微粒做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v，由位移時(shí)間公式求解運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）畫(huà)出粒子微粒運(yùn)動(dòng)的軌跡．根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力，列式求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)．由周期求時(shí)間．
（3）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度始終與所在位置的磁場(chǎng)垂直，粒子剛好在oyz平面左右空間各運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期后交替運(yùn)動(dòng)，粒子速度改變后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期不變，根據(jù)分析可知，微粒在oyz平面左方運(yùn)動(dòng)的軌跡為兩個(gè)半圓和四分之一圓，在oyz平面右方運(yùn)動(dòng)的軌跡為兩個(gè)半圓，分別穿過(guò)oyz平面5次．由幾何知識(shí)求電荷的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中微粒做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由題意E=$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$
由動(dòng)能定理得：qE•2a=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$         
解得：v=$\frac{aqB}{m}$                         
由$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{1}^{2}$=2a                          
得：t₁=$\frac{4m}{qB}$                             
（2）當(dāng)微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡如下圖所示．

假設(shè)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，
有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 R=a
所以微粒到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，a，0）
磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
則運(yùn)動(dòng)到達(dá)y軸的時(shí)刻 t₂=5t₁+$\frac{5}{4}T$         
解得：t₂=（$\frac{40+5π}{2}$）$\frac{m}{qB}$                 
（3）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度始終與所在位置的磁場(chǎng)垂直，粒子剛好在oyz平面左右空間各運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期后交替運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椋簍₃-t₂=$\frac{9}{4}$T      
且粒子速度改變后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期不變，根據(jù)分析可知，微粒在oyz平面左方運(yùn)動(dòng)的軌跡為兩個(gè)半圓和四分之一圓，在oyz平面右方運(yùn)動(dòng)的軌跡為兩個(gè)半圓．分別穿過(guò)oyz平面5次．所以：
x軸坐標(biāo)為：x=-（$\frac{1}{2}$）⁵a=-$\frac{1}{32}$a                   
y軸坐標(biāo)為：y=a+（$\frac{1}{2}$）²a×2+（$\frac{1}{2}$）⁴a×2=$\frac{13}{8}$a             
z軸坐標(biāo)為：z=（$\frac{1}{2}$）a×2+（$\frac{1}{2}$）³a×2+（$\frac{1}{2}$）⁵a=$\frac{41}{32}$a         
因此t₃時(shí)刻的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．
答：（1）微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v為$\frac{aqB}{m}$，時(shí)刻t₁=$\frac{4m}{qB}$；
（2）微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，a，0），時(shí)刻t₂為（$\frac{40+5π}{2}$_）$\frac{m}{qB}$；
（3）假設(shè)在平面Oyz存在一層特殊物質(zhì)，使微粒每次經(jīng)過(guò)Oyz平面時(shí)，速度大小總變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，求在時(shí)刻t₃=t₂+$\frac{9πm}{2qB}$時(shí)，電荷所在位置的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電磁場(chǎng)、在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，要有空間想象能力，并能應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等力學(xué)規(guī)律解答．