Question

9．如圖所示，由輕桿組成的Z形裝置ABCDE可繞豎直軸BC轉(zhuǎn)動，質(zhì)量均為m=1kg的甲、乙兩小球與兩細(xì)線連接后分別系于A、G和B、E處，細(xì)線BF長l₁=0.5m，EF的長度大于BF的長度，AH、GH長均為l₂=0.4m．裝置 靜止時(shí)，細(xì)線BF與豎直方向的夾角θ=37°，細(xì)線HG、EF水平，細(xì)線AH豎直，已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）當(dāng)裝置的角速度取不同值時(shí)，通過計(jì)算，畫出相應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)下各條細(xì)線拉力T與角速度的平方ω²之間的函數(shù)圖象
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω=5rad/s時(shí)，細(xì)線HG和FE突然斷裂，且Z形裝置停轉(zhuǎn)，求斷裂瞬間繩AH和BF的拉力大小之比．

Answer 1

分析 （1）裝置轉(zhuǎn)動穩(wěn)定時(shí)，甲乙兩球都在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動．由合力提供向心力，運(yùn)用正交分解法分別求各繩的拉力與角速度平方的關(guān)系，再畫出圖象．
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω=5rad/s時(shí)，細(xì)線HG和FE突然斷裂，且Z形裝置停轉(zhuǎn)，甲球?qū)⒋怪庇诩埫鏀[動，乙球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動，由牛頓第二定律求出斷裂瞬間繩AH和BF的拉力，再得到拉力之比．

解答 解：（1）裝置轉(zhuǎn)動穩(wěn)定時(shí)，甲乙兩球都在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動．
對于繩AH，其拉力始終等于小球甲的重力，即 T_AH=mg=10N．
對于繩GH，其拉力提供甲做圓周運(yùn)動所需要的向心力，即 T_GH=mω²l₂=0.4ω²．
對于乙球，繩EF剛好無拉力時(shí)，有 mgtan37°=mω²l₁sin37°
解得裝置轉(zhuǎn)動的角速度的平方為ω²=此后，當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大時(shí)，乙球?qū)�會“飄”起來，繩子EF的拉力變?yōu)榱悖?br />在乙球飄起來之前，由牛頓第二定律，
   水平方向有：T_BFsin37°-T_EF=mω²l₁sin37°
   豎直方向有：T_BFcos37°=mg
解得：T_BF=12.5N，T_EF=7.5-0.3ω²．
在乙球飄起來之后，有 T_BFsinθ=mω²l₁sinθ
解得 T_BF=0.5ω²．
綜上分析，畫出各條細(xì)線拉力T與角速度的平方ω²之間的函數(shù)圖象如圖．
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω=5rad/s時(shí)，細(xì)線HG和FE突然斷裂，且Z形裝置停轉(zhuǎn)，甲球?qū)⒋怪庇诩埫鏀[動，乙球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動
對于甲球：T_AH-mg=mω²l₂
解得T_AH=20N
對于乙球，有：T_BFcos37°=mg
解得T_BF=12.5N
則斷裂瞬間繩AH和BF的拉力大小之比 T_AH：T_BF=8：5．
答：（1）畫出各條細(xì)線拉力T與角速度的平方ω²之間的函數(shù)圖象如圖．
（2）斷裂瞬間繩AH和BF的拉力大小之比 T_AH：T_BF=8：5．

點(diǎn)評 本題考查了共點(diǎn)力平衡和牛頓第二定律的基本運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動的向心力來源，確定小球運(yùn)動過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．