Question

2．如圖所示，光滑水平導軌AB的端有一壓縮的彈簧，彈簧左端固定，右端前放一個質量為m=1kg的物塊（可視為質點），物塊與彈簧不粘連，B點與水平傳送帶的左端剛好平齊接觸，傳送帶的長度BC的長為L=6m，沿逆時針方向以恒定速度v=2m/s勻速轉動．CD為光滑的水平軌道，C點與傳送帶的右端剛好平齊接觸，D是豎直放置的半徑為R=0.4m的光滑半圓軌道，DE與CD相切于D點．已知物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶剛好能到達C點，求彈簧儲存的彈性勢能Ep；
（2）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶能夠通過C點，并經過圓弧軌道DE，從其最高點E飛出，最終落在CD上距D點的距離為x=1.2m處（CD長大于1.2m），求物塊通過E點時受到的壓力大小；
（3）滿足（2）條件時，求物塊通過傳送帶的過程中產生的熱能．

Answer 1

分析 （1）彈簧彈性的勢能完全轉化為木塊的動能，木塊通過傳送帶時滑動摩擦力做的功等于木塊動能的變化，據此計算可得；
（2）滑塊從E點開始做平拋運動，根據平勢運動規(guī)律求得木塊經過E點時的速度，再根據牛頓第二定律求得木塊在E點受到的壓力；
（3）求出木塊經過傳送帶時與傳送帶間的相對位移，根據Q=fL求得因摩擦產生的熱能

解答 解（1）滑塊經過傳送帶時，摩擦力做的功等于滑塊動能的變化，故有：
$-μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                         
可知滑塊釋放時的動能
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=μmgL=0.2×1×10×6J=12J$
彈簧釋放時彈簧的彈性勢能完全轉化為木塊的動能，所以滑塊剛好到達傳送帶C點時彈簧儲存的彈性勢能為：12J；                                         
（2）小滑塊離開E點做平拋運動，由平拋知識有：
水平方向：x=v_Et                                                  
豎直方向：$y=2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$                                          
由此可得，滑塊在E點的速度為：${v}_{E}=\frac{x}{t}=\frac{x}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=\frac{1.2}{\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}}m/s=3m/s$
根據牛頓第二定律有：在E點有：${F}_{N}+mg=\frac{{mv}_{E}^{2}}{R}$                      
可得滑塊受到的壓力為：${F}_{N}=m\frac{{v}_{E}^{2}}{R}-mg=1×\frac{{3}^{2}}{0.4}-1×10N=12.5N$      
（3）根據動能定理有：滑塊從D到E的過程中只有重力做功：
$-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{E}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$，
代入數(shù)據解得：滑塊經過D點時的速度為：v_D=5m/s        
滑塊經過傳送帶時只有阻力做功，根據動能定理有：
代入數(shù)據可解得：v_B=7m/s，
因為滑塊做勻減速運動，故有：
L=$\frac{{v}_{B}+{v}_{D}}{2}t$，可得滑塊在傳送帶上運動的時間為：t=$\frac{6}{\frac{5+7}{2}}s=1s$         
由此可知滑塊在傳送帶上滑動時，滑塊相對于傳送帶的位移為：
x=L+vt=6+×1m=8m                                                 
所以滑塊因摩擦產生的熱量為：Q=μmgx=0.2×1×10×8J=16J
答：（1）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶剛好能到達C點，彈簧儲存的彈性勢能Ep為12J；
（2）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶能夠通過C點，并經過圓弧軌道DE，從其最高點E飛出，最終落在CD上距D點的距離為x=1.2m處（CD長大于1.2m），物塊通過E點時受到的壓力大小為12.5N；
（3）滿足（2）條件時，求物塊通過傳送帶的過程中產生的熱能為16J

點評 本題是傳送帶與平拋運動的結合，關鍵是能掌握物體在傳送帶上做勻減速運動，能根據平拋運動規(guī)律求解平拋運動問題，以及摩擦生熱由兩物體間的相對位移決定