Question

2．某一行星的質(zhì)量為地球的一半，它的半徑也是地球的一半，行星和地球的衛(wèi)星的環(huán)繞速度之比和周期之比是（　　）

• A． 1：1；2：1
• B． 1：2；1：4
• C． $\sqrt{2}$：1；$\sqrt{2}$：4
• D． 1：1；1：2

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，由行星的萬有引力提供向心力，由此列式，得到衛(wèi)星的環(huán)繞速度和周期的表達式，再相比即可．

解答 解：設(shè)任一行星的半徑為R，質(zhì)量為M．
對于衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
則知行星和地球的衛(wèi)星的環(huán)繞速度之比 $\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}$=$\frac{1}{1}$
周期之比 $\frac{{T}_{行}}{{T}_{地}}$=$\frac{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{行}^{3}}{G{M}_{行}}}}{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{地}^{3}}{G{M}_{地}}}}$=$\frac{1}{2}$
故選：D

點評 本題首先要搞懂什么是環(huán)繞速度．求宇宙速度往往建立如下模型：衛(wèi)星繞天體附近做勻速圓周運動，衛(wèi)星所需要的向心力來源于天體對它的萬有引力，建立方程，加上數(shù)學(xué)變換即可求解．