Question

13．在一次探測(cè)彗星的活動(dòng)過(guò)程中，載著登陸艙的探測(cè)飛船總質(zhì)量為m₁，在以彗星的中心為圓心、半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T₁，尋找到合適的著陸點(diǎn)后，變軌到離彗星更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m₂，登陸艙隨后脫離飛船開始登陸，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 彗星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₂軌道上運(yùn)動(dòng)的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₁與半徑為r₂的軌道上運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$
• D． 彗星表面的重力加速度g′=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量M．
2、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，化簡(jiǎn)可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂．
3、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma可得向心加速度之比．
4、根據(jù)牛頓第二定律F=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=ma，化簡(jiǎn)可得向心加速度，可以判斷與月球表面的重力加速度的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
載著登陸艙的探測(cè)飛船總質(zhì)量為m₁，在以彗星的中心為圓心、半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T₁，
可得，月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A正確；
B、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k
載著登陸艙的探測(cè)飛船總質(zhì)量為m₁，在以彗星的中心為圓心、半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T₁，尋找到合適的著陸點(diǎn)后，變軌到離彗星更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，可得：T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B正確；
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
可得，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，
所以登陸艙在半徑為r₁與半徑為r₂的軌道上運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)F=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=ma，可得，載著登陸艙的探測(cè)飛船的加速度a=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
所以該加速度不等于星球表面的重力加速度，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 本題是典型的天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力是解決這類問(wèn)題的重要的關(guān)系，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達(dá)式．