Question

18．如圖所示，在光滑水平面上，有一坐標系xOy，其第一象限內充滿著垂直平面坐標向里的磁場，磁感應強度B沿y方向不變，沿x方向的變化滿足B=B₀+kx（T），有一長ac=l₁，寬cd=l₂的矩形線框abcd，其總電阻為R，初始時兩邊正好和xy軸重合．求：
（1）使線框繞ab軸以角速度ω勻速轉動90°時線圈產生的感應電動勢；
（2）線框繞ab軸轉動90°過程中，通過線圈的電量；
（3）若使線圈以速度v沿x軸正方向勻速運動，需沿x軸方向加多大外力．

Answer 1

分析 （1）線框繞ab軸轉動的過程中，只有cd邊切割磁感線產生感應電動勢，由公式v=rω求出cd轉動的線速度，再由公式E=Blv求解即可．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律結合求解電量．
（3）若使線圈以速度v沿x軸正方向勻速運動，ab、cd邊都會產生感應電動勢，由公式E=Blv求出線圈的總感應電動勢，得到感應電流的大小，再由公式F=BIl，求出線圈所受的安培力，即可根據平衡條件求解．

解答 解：
（1）線框繞ab軸以角速度ω勻速轉動90°時cd邊轉動的線速度為 v_cd=l₁vω
線圈產生的感應電動勢為 E=B₀l₂v_cd=B₀l₂l₁ω
（2）圖示位置穿過線框的磁通量 Φ₁=$\frac{{B}_{0}+{B}_{1}}{2}$l₂l₁=$\frac{{B}_{0}+{B}_{0}+k{l}_{1}}{2}$ l₂l₁=（B₀+$\frac{1}{2}$kl₁）l₂l₁；
轉動90°時磁通量為Φ₂=0
磁通量的變化量大小△Φ=|Φ₂-Φ₁|=（B₀+$\frac{1}{2}$kl₁）l₂l₁；
線框產生的感應電動勢平均值$\overline{E}$=$\frac{△∅}{△t}$
感應電流平均值$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
通過線圈的電量 q=$\overline{I}$△t
聯立得：q=$\frac{△∅}{R}$=$\frac{（{B}_{0}+\frac{1}{2}k{l}_{1}）{l}_{1}{l}_{2}}{R}$
（3）若使線圈以速度v沿x軸正方向勻速運動，ab、cd邊都會產生感應電動勢，ab邊所在的磁感應強度為B₁=B₀+kx，
則cd邊所在的磁感應強度為：B₂=B₀+k（x+l₁），
故總的感應電動勢為：E=（B₂-B₁）l₂v=kl₁l₂v
電路的電流為：I=$\frac{E}{R}$
ab邊受到的安培力向右，大小為：F₁=B₁Il₂
cd邊受到的安培力向左，大小為：F₂=B₂Il₂
線圈要勻速運動則有：F=F₂-F₁=$\frac{（k{l}_{1}{l}_{2}）^{2}v}{R}$
根據平衡條件可得沿x軸方向的外力 F_外=F=$\frac{（k{l}_{1}{l}_{2}）^{2}v}{R}$ 
答：
（1）使線框繞ab軸以角速度ω勻速轉動90°時線圈產生的感應電動勢為B₀l₂l₁ω．
（2）線框繞ab軸轉動90°過程中，通過線圈的電量為$\frac{（{B}_{0}+\frac{1}{2}k{l}_{1}）{l}_{1}{l}_{2}}{R}$．
（3）若使線圈以速度v沿x軸正方向勻速運動，需沿x軸方向所加外力大小為$\frac{（k{l}_{1}{l}_{2}）^{2}v}{R}$．

點評 解決本題的關鍵掌握法拉第電磁感應定律切割式E=Blv和一般式E=$\frac{△∅}{△t}$，知道切割式一般用來求感應電動勢的瞬時值，而一般可用來求平均值．