Question

14．左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d．電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向與金屬板面平行并垂直于紙面朝里．圖中右邊有一半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．一電荷量為q的正離子沿平行于全屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平行金屬板之間的區(qū)域，并沿直徑EF方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，最后從圓形區(qū)城邊界上的G點(diǎn)射出．已知弧$\widehat{FG}$所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，不計(jì)重力．求
（1）離子速度的大小；
（2）離子的質(zhì)量．
（3）若一電性相反、電荷量與質(zhì)量相同的離子以相同的速度從左端進(jìn)入，則該離子最終從什么位置離開磁場(chǎng)？（本小題不要求說明理由）

Answer 1

分析 （1）離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，應(yīng)用平衡條件可以求出離子的速度．
（2）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出離子的質(zhì)量．
（3）離子質(zhì)量相同，電性相反，離子所示洛倫茲力方向相反，根據(jù)離子的受力情況分析答題．

解答 解：（1）離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，安所受到的向上的壓力和向下的電場(chǎng)力平衡，由平衡條件得：
qvB₀=qE₀ …①
式中，v是離子運(yùn)動(dòng)速度的大小，E₀是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度為：E₀=$\frac{U}eycgs64$…②
由①②式解得：v=$\frac{U}{{B}_{0}d}$…③
（2）在圓形磁場(chǎng)區(qū)域，離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…④
離子從磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)G穿出，離子運(yùn)動(dòng)的圓周的圓心O′必在過E點(diǎn)垂直于EF的直線上，且在EG的垂直一平分線上，如圖所示：

由幾何知識(shí)得：r=Rtanα…⑤
α是OO′與直徑EF的夾角，由幾何關(guān)系得：2α+θ=π…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥式得，離子的質(zhì)量為：m=$\frac{qB{B}_{0}Rd}{V}$cot$\frac{θ}{2}$…⑦
（3）離子電性相反而質(zhì)量相等，離子受到的洛倫茲力大小不變而方向相反，
離子在電磁場(chǎng)中仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力方向相反，
離子偏轉(zhuǎn)方向相反，離子最終打在G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)G′上，
該離子能一同樣的速度沿直線進(jìn)入右邊磁場(chǎng)，并以相同的半徑向下偏轉(zhuǎn)到G′上．
答：（1）離子速度的大小為$\frac{V}{{B}_{0}d}$；
（2）離子的質(zhì)量為：$\frac{qB{B}_{0}Rd}{V}$cot$\frac{θ}{2}$；
（3）離子最終打在G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)G′上，離子所示洛倫茲力大小不變方向相反．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離子在電磁場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚離子運(yùn)動(dòng)過程，在磁場(chǎng)中要明確圓心和半徑的確定，用好幾何關(guān)系；而在混合場(chǎng)中要注意正確進(jìn)行受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡等規(guī)律進(jìn)行分析求解．