Question

19．如圖所示，AB與CD為兩個對稱斜面，其上部都足夠長，下部分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑R=2.0m．一個質(zhì)量為2kg的物體在離弧底E高度為h=3.0m處，以初速度v₀=4m/s沿斜面運動，物體與兩斜面的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2．求：

（1）物體第一次通過最低點時，物體對圓弧軌道的壓力多大？
（2）物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能運動多少路程？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體第一次通過最低點時，根據(jù)動能定理求得在最低點的速度，再根據(jù)合力提供圓周運動向心力求得物體受到軌道的支持力，根據(jù)牛頓第三定律求得對圓弧軌道的壓力；
（2）因為物體在斜面上運動，阻力始終做負(fù)功，根據(jù)動能定理求得物體運動的最終速度，由動能定理求得在兩斜面上運動和路程．

解答 解：（1）從A到第一次通過最低點E的過程中，由幾何關(guān)系和動能定理得：

$mgh-μmgcos60°\frac{h-（R-Rcos60°）}{sin60°}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…①
在最低點，根據(jù)牛頓第二定律：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$…②
由①②式可解得：${F}_{N}=（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
根據(jù)牛頓第三定律：物體對圓弧軌道的壓力為$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
（2）斜面的傾角為60°，因為mgsin60°＞μmgcos60°，所以物體不會靜止在斜面上，最終在BC間做往復(fù)運動．
最終做往復(fù)運動時，在B、C的速度為零，對A到C的整個過程運用動能定理得，
$mg[h-（R-Rcos{60^0}）]-μmgcos{60^0}S=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：S=28m
答：（1）物體第一次通過最低點時，物體對圓弧軌道的壓力為$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$；
（2）物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能運動28m的路程．

點評 本題屬于多過程問題，由于機械能損失，物體最終在B、C之間做往復(fù)運動，要知道摩擦生熱與總路程有關(guān)．