Question

14．氫原子可視為電子繞著原子核（氫原子核為質(zhì)子，電荷量等于一個(gè)元電荷e）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若電子可以在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子質(zhì)量為m，質(zhì)子質(zhì)量為M，靜電力常量為k，不計(jì)質(zhì)子與電子之間的萬(wàn)有引力，求：
（1）電子在距離原子核r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大��；
（2）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫(kù)侖引力提供向心力，列式$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，即可求解勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）根據(jù)庫(kù)侖引力提供向心力，列式$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，即可求解勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，從而確定周期之比．

解答 解：（1）根據(jù)庫(kù)侖力提供向心力得：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$，
（2）根據(jù)庫(kù)侖力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律，得：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$
因此周期與半徑的二分三次方成正比，
那么電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{1}^{3}}}{\sqrt{{4}^{3}}}$=$\frac{1}{8}$
答：（1）電子在距離原子核r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$；
（2）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比1：8．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力，理解向心力表達(dá)式的表達(dá)式，并能靈活運(yùn)用．同時(shí)掌握牛頓第二定律的應(yīng)用．