Question

14．如圖，小球沿光滑的斜軌道下滑至光滑水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動(dòng)，控制電路會(huì)使中空?qǐng)A柱體轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒左側(cè)的距離為L(zhǎng)=1.6m，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔甲的高度差為h₁=0.8m，側(cè)壁上另一小孔乙和甲在同一豎直線上，且甲、乙兩孔中心相距h₂=1.0m，開始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且甲、乙小孔都正對(duì)著軌道方向，現(xiàn)讓一小球從斜軌上某處無(wú)初速度滑下，正好能進(jìn)入甲小孔并恰好從乙小孔穿出（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²），求
（1）小球從斜軌上釋放時(shí)的高度H；
（2）轉(zhuǎn)筒的底面半徑R；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從離開圓弧軌道到進(jìn)入小孔甲的過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間和初速度，再對(duì)小球在圓弧軌道上的運(yùn)動(dòng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解H；
（2）小球平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，研究豎直方向，求小球從甲孔到乙孔的時(shí)間，根據(jù)水平位移求出轉(zhuǎn)筒的底面半徑R；
（3）計(jì)算出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間后，根據(jù)角速度的定義式和圓周運(yùn)動(dòng)的周期性求解角速度即可．

解答 解：（1）設(shè)小球離開軌道進(jìn)入小孔甲的時(shí)間為t₁，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²
得：t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$=0.4s
平拋的初速度滿足：L=v₀t₁；
得：v₀=4m/s
小球在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，故有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²；
解得：H=0.8m
（2）豎直分運(yùn)動(dòng)：小球從甲孔到乙孔的時(shí)間為：
△t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}+{h}_{2}）}{g}}-{t}_{1}$=0.2s
水平分運(yùn)動(dòng)：在△t時(shí)間剛好位移為直徑，即：2R=v₀△t
得圓筒底面半徑為：R=0.4m
（3）在小球平拋到達(dá)甲孔的時(shí)間t₁=0.4s內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)甲孔，即：
ωt₁=2nπ（n=1，2，3…）．
所以有：ω=5nπ  rad/s（n=1，2，3…）
在小球由甲孔到達(dá)乙孔的時(shí)間△t=0.2s內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)半圈的奇數(shù)倍，小球才能鉆出乙孔．則有：
ω△t=（2n-1）π（n=1，2，3…）
得：ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
綜合分析知，滿足既能鉆出甲孔又能穿出乙孔，取ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
答：（1）小球從斜軌上釋放時(shí)的高度H是0.8m；
（2）轉(zhuǎn)筒的底面半徑R是0.4m；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω是5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及知道轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性．