Question

15．如圖所示，豎直平面內有一光滑半圓形軌道，直徑AB水平，小球a靜止在半圓形軌道的最低點，將另一小球b在半圓形軌道的B點由靜止釋放，當b球運動到半圓形軌道的最低點時與a球發(fā)生碰撞，兩球碰后粘在一起沿半圓形軌道向左運動，此后兩球與圓心O的連線偏離豎直方向的最大偏角為60°，忽略空氣阻力．兩小球可視為質點．求：
①a、b兩小球的質量之比；
②a、b兩小球在碰撞過程中損失的機械能與球b在碰前的最大動能之比．

Answer 1

分析 ①ab兩球一起向左運動到最高點的過程中，根據動能定理求出碰撞后的共同速度，b球從最高點下滑到最低點的過程中，根據動能定理求出碰撞前b的速度，ab碰撞過程中，系統動量守恒，以b球速度方向為正方向，根據動量守恒定律列式求解即可；
②根據能量守恒定律求出碰撞過程中，系統損失的機械能，從而求解a、b兩小球在碰撞過程中損失的機械能與球b在碰前的最大動能之比．

解答 解：①ab兩球一起向左運動到最高點的過程中，根據動能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{a}+{m}_）{v}^{2}$=（m_a+m_b）gR（1-cos60°），
解得：v=$\sqrt{gR}$
b球從最高點下滑到最低點的過程中，根據動能定理得：
$\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}={m}_gR$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
ab碰撞過程中，系統動量守恒，以b球速度方向為正方向，根據動量守恒定律得：
m_bv₁=（m_a+m_b）v
聯立解得：$\frac{{m}_{a}}{{m}_}$=$\sqrt{2}-1$
②a、b兩小球在碰撞過程中損失的機械能$△E=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{a}+{m}_）{v}^{2}$，
球b在碰前的最大動能${E}_{K}=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}$，
解得：$\frac{△E}{{E}_{K}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
答：①a、b兩小球的質量之比為$\sqrt{2}-1$；
②a、b兩小球在碰撞過程中損失的機械能與球b在碰前的最大動能之比為$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了動能定理、動量守恒定律以及能量守恒定律的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動情況，注意運用動量守恒定律解題時要規(guī)定正方向，難度適中．