Question

2．如圖所示，半徑R=0.80m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直固定，過(guò)最低點(diǎn)的半徑OC處于豎直位置．其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與C等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．轉(zhuǎn)筒的軸線(xiàn)與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開(kāi)始時(shí)小孔也在這一平面內(nèi)的圖示位置．今讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落后打在圓弧軌道上的B點(diǎn)，但未反彈，在瞬問(wèn)碰撞過(guò)程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為O，而沿切線(xiàn)方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)觸動(dòng)光電裝置，使轉(zhuǎn)簡(jiǎn)立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，且小物塊最終正好進(jìn)入小孔．已知A、B到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角均為θ=30°，不計(jì)空氣阻力，g取lOm/s²．求：
（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小F_C
（2）轉(zhuǎn)筒軸線(xiàn)距C點(diǎn)的距離L．
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)幾何關(guān)系求得碰后小球速度，從B到C得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理求得到達(dá)C的速度，根據(jù)向心力公式及牛頓第三定律即可求解；
（2）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解；
（3）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的周期性知，在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．由此求解．

解答 解：（1）小物塊由A→B的過(guò)程中，
  2mgRsin30°=$\frac{1}{2}$mv_B²
得 v_B=4m/s                                               
在瞬間碰撞過(guò)程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，沿切線(xiàn)方向的分速度不變．
則碰撞后瞬間小物塊速度
 v_B′=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s                                
小物塊由B→C的過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理得：
  mgR（1-sin30°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B′²
解得 v_C=2$\sqrt{5}$m/s                                            
小物塊在C點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
  F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=3.5N                                                 
所以由牛頓第三定律知，小物塊對(duì)軌道壓力的大小 F_C=3.5N    
（2）小球由C到小孔做平拋運(yùn)動(dòng)
 h=$\frac{1}{2}$gt²   
解得：t=0.4s                                               
所以L(fǎng)=v_Ct+r=（$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$+0.2）m                                    
（3）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，
即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．
解得：ω=$\frac{2nπ}{t}$=5nπrad/s  （n=1，2，3…）．
答：
（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為3.5N；
（2）轉(zhuǎn)筒軸線(xiàn)距C點(diǎn)的距離L為（$\frac{4}{5}\sqrt{5}$+0.2）m；
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為5nπrad/s  （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解，理解圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，分析時(shí)要抓住平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性．