Question

10．如圖所示，帶等量異種電荷的兩平行金屬板豎直放置（M板帶正電，N板帶負(fù)電），板間距為d=80cm，板長為L，板間電壓為U=100V．兩極板上邊緣連線的中點(diǎn)處有一用水平輕質(zhì)絕緣細(xì)線拴接的完全相同的小球A和B組成的裝置Q，在外力作用下Q處于靜止?fàn)顟B(tài)，該裝置中兩球之間有一處于壓縮狀態(tài)的絕緣輕質(zhì)小彈簧（球與彈簧不拴接），左邊A球帶正電，電荷量為q=4×10^-5C，右邊B球不帶電，兩球質(zhì)量均為m=1.0×10^-3kg，某時(shí)刻裝置Q中細(xì)線突然斷裂，A、B兩球立即同時(shí)獲得大小相等、方向相反的速度（彈簧恢復(fù)原長）．若A、B之間彈簧被壓縮時(shí)所具有的彈性能為1.0×10^-3J，小球A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，Q裝置中彈簧的長度不計(jì)，小球帶電不影響板間勻強(qiáng)電場，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）為使小球不與金屬板相碰，金屬板長度L應(yīng)滿足什么條件？
（2）當(dāng)小球B飛離電場恰好不與金屬板相碰時(shí)，小球A飛離電場時(shí)的動(dòng)能是多大？
（3）從兩小球彈開進(jìn)入電場開始，到兩小球間水平距離為30cm時(shí)，小球A的電勢能增加了多少？

Answer 1

分析 （1）進(jìn)入電場后A球在水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，B做勻速運(yùn)動(dòng)，所以是B先碰到極板，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出金屬板長度的條件；
（2）根據(jù)B的自由落體運(yùn)動(dòng)求出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合動(dòng)能定律求出小球A飛離電場時(shí)的動(dòng)能；
（3）兩小球進(jìn)入電場后，豎直方向都做自由落體運(yùn)動(dòng)，因此兩小球在運(yùn)動(dòng)的過程中始終位于同一水平線上，根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)和勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出A水平方向的位移，最后求得小球A的電勢能增加．

解答 解：（1）小球分離的過程中機(jī)械能守恒：$E=2×\frac{1}{2}mv_0^2$，
小球分離時(shí)獲得的初速度：v₀=1m/s，
進(jìn)入電場后A球在水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，B做勻速運(yùn)動(dòng)，所以是B先碰到極板．B向右做平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間：
$t=\fraclb7xdll{{2{v_0}}}=0.4s$，
豎直方向的位移：
$y=\frac{1}{2}g{t^2}=0.8m$，
即為使小球不與金屬板相碰，金屬板的長度：L＜0.8m；
（2）水平方向A球向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度$a=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}=5m/{s^2}$，方向向右；
A球飛離電場時(shí)的位移：${s_1}={v_0}t-\frac{1}{2}a{t^2}=0$，
由動(dòng)能定律，A球離開電場時(shí)的動(dòng)能：
${E_K}=\frac{1}{2}mv_0^2+q\frac{U}{D}•{s_1}+mgL=8.5×1{0^{-2}}J$；
（3）兩小球進(jìn)入電場后，豎直方向都做自由落體運(yùn)動(dòng)，因此兩小球在運(yùn)動(dòng)的過程中始終位于同一水平線上，
當(dāng)兩球間的距離是30cm時(shí)，${v_0}t′+（{v_0}t′-\frac{1}{2}at{′^2}）=s$
解得：t′₁=0.2s，t′₂=0.6s（舍去），
此時(shí)，A球水平位移為：${s_A}={v_0}t{′_1}-\frac{1}{2}•\frac{Uq}{dm}•t′_1^2=0.1m$，
球A的電勢能增加：$△E=qE{s_A}=5×1{0^{-4}}J$
答：（1）為使小球不與金屬板相碰，金屬板長度L應(yīng)滿足L＜0.8m；
（2）當(dāng)小球B飛離電場恰好不與金屬板相碰時(shí)，小球A飛離電場時(shí)的動(dòng)能是8.5×10^-2J；
（3）從兩小球彈開進(jìn)入電場開始，到兩小球間水平距離為30cm時(shí)，小球A的電勢能增加了5×10^-4J．

點(diǎn)評(píng) 該題的情景設(shè)置的較為復(fù)雜，兩個(gè)過程又相互聯(lián)系，在解題的過程中要理清它們之間的關(guān)系，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系寫出相應(yīng)的方程來解題．