Question

1．宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的A、B、C三顆星組成的三星系統，通�？珊雎云渌�星體對它們的萬有引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統存在兩種基本的構成形式：第一種是三顆星位于同一直線上，A、C兩顆星圍繞中央星B在同一半徑為 R 的圓軌道上運行；第二種形式是A、B、C三顆星在邊長為R的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設在第一種和第二種情況下，A星體運動的線速度分別為v₁和v₂；周期分別為T₁和T₂．求：$\frac{v_1}{v_2}$=？和$\frac{T_1}{T_2}$=？．

Answer 1

分析 畫出三顆星位置示意圖．兩側的星由另外兩個星的萬有引力的合力提供向心力，列式求解周期．
對于任意一個星體，由另外兩個星體的萬有引力的合力提供向心力，列式求解周期

解答 解：第一種情況下，星體A受星體B和星體C的萬有引力，它們的合力提供向心力，線速度與周期方程：
$\frac{Gmm}{R^2}+\frac{Gmm}{{{{（2R）}^2}}}=m\frac{v_1^2}{R}$
（）
$v_1^{\;}=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$   ${T_1}=\frac{2πR}{v}=2πR\sqrt{\frac{4R}{5Gm}}$
第二種情況下，星體之間的距離為R，圓周的半徑為$r=\frac{{\frac{R}{2}}}{{cos{{30}^0}}}=\frac{R}{{\sqrt{3}}}$；
星體A受的合力為：${F_合}=\sqrt{3}\frac{Gmm}{R^2}=m\frac{v_2^2}{r}=\sqrt{3}\frac{mv_2^2}{R}$  ${v_2}=\sqrt{\frac{Gm}{R}}$${T_2}=\frac{2πr}{v_2}=2πR\sqrt{\frac{R}{3Gm}}$
解得：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$； $\frac{T_1}{T_2}=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$
答：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$； $\frac{T_1}{T_2}=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．