Question

1．總質(zhì)量為m的一顆返回式人造地球衛(wèi)星沿半徑為R的圓軌道繞地球運動到P點時，接到地面指揮中心返回地面的指令，于是立即打開制動火箭向原來運動方向噴出燃氣以降低衛(wèi)星速度并轉(zhuǎn)到跟地球相切的橢圓軌道，如圖所示，要使衛(wèi)星對地速度將為原來的$\frac{8}{9}$，衛(wèi)星在P處應將質(zhì)量為△m的燃氣以多大的對地速度向前噴出？（將連續(xù)噴氣等效為一次性噴氣，地球半徑為R₀，地面重力加速度為g）

Answer 1

分析 先根據(jù)萬有引力等于向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛(wèi)星原來的速度，再由動量守恒定律求解．

解答 解：對地面上的物體，根據(jù)重力等于萬有引力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$…①
設衛(wèi)星原來的線速度大小為v．由萬有引力提供向心力，則得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②兩式，可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$…③
取衛(wèi)星原來的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv=（m-△m）$\frac{8}{9}$v+△mv′④
由③④解得：v′=$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$
答：衛(wèi)星在P處應將質(zhì)量為△m的燃氣以$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$的對地速度向前噴出．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力進行列式求解衛(wèi)星的速度．