Question

13．已知萬有引力常量G，在下列給出的情景中，能根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出月球密度的是（　　）

• A． 在月球表面使一個小球做自由落體運(yùn)動，測出落下的高度H和時間t
• B． 發(fā)射一顆貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動的飛船，測出飛船運(yùn)行的周期T
• C． 觀察月球繞地球的圓周運(yùn)動，測出月球的直徑D和月球繞地球運(yùn)行的周期T
• D． 發(fā)射一顆繞月球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，測出衛(wèi)星離月球表面的高度H和衛(wèi)星的周期T

Answer 1

分析 （1）月球的密度$ρ=\frac{M}{V}$，要計(jì)算密度就要知道月球的質(zhì)量和月球的半徑；
（2）根據(jù)天體運(yùn)動中萬有引力提供向心力的公式只能求出中心天體的質(zhì)量，不能算出環(huán)繞天體的質(zhì)量；
（3）根據(jù)公式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和已知條件去計(jì)算月球的質(zhì)量和半徑，如能求得質(zhì)量和半徑即可求得密度

解答 解：設(shè)月球的質(zhì)量為M，半徑為r，則火星的密度$ρ=\frac{M}{V}$，
A．在月球表面使一個小球做自由落體運(yùn)動，測出下落的高度H和時間t，根據(jù)H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，可知算出月球的重力加速度，根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$=mg，可以算得月球的質(zhì)量，但不知道月球的半徑，故無法算出密度，故A錯誤；
B．根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$得：$\frac{M}{4π{r}^{3}}=\frac{π}{G{T}^{2}}$，V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，所以$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，已知T就可算出密度，故B正確；
C．觀察月球繞地球的圓周運(yùn)動，只能算出地球的質(zhì)量，無法算出月球質(zhì)量，也就無法算出月球密度，故C錯誤；
D．測出衛(wèi)星離月球表面的高度H和衛(wèi)星的周期T，但是不知道月球的半徑，故無法算出密度，故D錯誤．
故選：B．

點(diǎn)評 要計(jì)算密度就要知道月球的質(zhì)量和月球的半徑，而根據(jù)天體運(yùn)動中萬有引力提供向心力的公式只能求出中心天體的質(zhì)量，不能算出環(huán)繞天體的質(zhì)量，所以月球只能作為中心天體．該題難度適中，屬于中檔題．