Question

3．一半徑為2L，高度為h的圓桌可繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)，桌面上放有兩質(zhì)量均為m的物塊A、B，其中A距離圓心L，B距離圓心2L，兩物體被一根輕繩連接，在物塊A的外側(cè)放有一固定的擋板（使A不向外運(yùn)動(dòng)）．物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．已知L=0.5m，μ=0.1，g=10m/s² ，求：
（1）當(dāng)圓桌的角速度為多少時(shí)，繩子出現(xiàn)拉力；
（2）當(dāng)圓桌的角速度為多少時(shí)，A、B物體剛好同時(shí)要滑動(dòng)；
（3）在A、B剛好要滑動(dòng)瞬間剪斷了繩子，圓桌轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不變，當(dāng)B落地時(shí)A物體剛好轉(zhuǎn)過一周回到繩斷時(shí)的位置，求此時(shí)A、B物體間相距多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，繩子開始出現(xiàn)拉力，結(jié)合牛頓第二定律求出圓盤的角速度．
（2）當(dāng)A、B都達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，A、B物體剛好同時(shí)要滑動(dòng)，分別對A、B運(yùn)用牛頓第二定律，求出圓盤的角速度．
（3）根據(jù)物體A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間得出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出高度和平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，結(jié)合幾何關(guān)系求出A、B的距離．

解答 解：（1）當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，繩子開始出現(xiàn)拉力．根據(jù)$μmg=m•2L{{ω}_{1}}^{2}$得：
ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$=$\sqrt{\frac{0.1×10}{2×0.5}}=1rad/s$，
（2）對B有：$μmg+T=m•2L{{ω}_{2}}^{2}$，
對A有：$T-μmg=m•L{{ω}_{2}}^{2}$，
聯(lián)立兩式解得：ω₂=$\sqrt{\frac{2μg}{L}}=\sqrt{\frac{2×0.1×10}{0.5}}=2rad/s$．
（3）B做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為：v₀=2Lω₂═2×0.5×2m/s=2m/s，
A轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間為：t=$\frac{2π}{{ω}_{2}}=\frac{2π}{2}=πs$，
B平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：x=v₀t=2×π=2πm，
平臺(tái)的高度為：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×{π}^{2}=5{π}^{2}$m，
B在地面上的投影與落地點(diǎn)的距離為：x′=$\sqrt{（3L）^{2}+{x}^{2}}$，
則AB的距離為：s=$\sqrt{x{′}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{（3L）^{2}+{x}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}+4{π}^{2}+25{π}^{4}}$≈50m．
答：（1）當(dāng)圓桌的角速度為1rad/s時(shí)，繩子出現(xiàn)拉力；
（2）當(dāng)圓桌的角速度為2rad/s時(shí)，A、B物體剛好同時(shí)要滑動(dòng)；
（3）A、B兩物體間相距50m．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)與牛頓定律的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，以及知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本題第三問對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．