Question

5．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿OA可以繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．桿最初在水平位置，桿上距O點(diǎn)$\frac{\sqrt{3}}{2}$L處放一小物體m（可視為質(zhì)點(diǎn)），桿與小物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．若此桿突然以角速度ω繞軸O順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)ω取什么值時(shí)，桿OA與小物體可再次相碰？已知重力加速度為g．

Answer 1

分析 當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)之后，小物體B將沿豎直方向自由下落．B若與桿相碰撞，一種情況是B追上桿相碰，一種情況是桿轉(zhuǎn)一圈后追上B相碰，結(jié)合結(jié)合關(guān)系，抓住時(shí)間相等求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

解答 解：小物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，桿OA與小物體再次相遇有兩種情況，
一是小物體追上桿，二是桿轉(zhuǎn)動(dòng)一周后追上小物體，
當(dāng)兩者剛好再次相碰時(shí)，對(duì)小物體有：h=$\frac{g{t}^{2}}{2}$     
對(duì)細(xì)桿OA有：θ=ω₁t  或θ+2π=ω₂t           
由幾何關(guān)系知：θ=$\frac{π}{6}$，h=$\frac{L}{2}$                 
得ω₁=$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω₂=$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$                     
故欲使小物體和桿再次相遇必有ω≤$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω≥$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$    
答：欲使小物體和桿再次相遇必有ω≤$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω≥$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道：
（1）桿突然轉(zhuǎn)動(dòng)后，小木塊做自由落體運(yùn)動(dòng)．如果在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間t內(nèi)，桿端A恰好轉(zhuǎn)到小物體的正下方使小物體與桿端相碰，即桿轉(zhuǎn)過(guò)θ角的時(shí)間與小物體自由下落高度h的時(shí)間相等．
（2）求桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍．要求桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的臨界值，就是要求兩者恰好相碰時(shí)桿所轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．