Question

5．下暴雨時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害．某地有一傾角為θ=37°（sin37°=$\frac{3}{5}$）的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．假設(shè)某次暴雨中，A浸透雨水后總質(zhì)量也為m（可視為質(zhì)量不變的滑塊），在極短時(shí)間內(nèi)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁減小為$\frac{3}{8}$，B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂減小為0.5，A、B開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)；在第2s末，B的上表面突然變?yōu)楣饣�，�?SUB>2保持不變．已知A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A離B下邊緣的距離l=27m，C足夠長(zhǎng)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在0～2s時(shí)間內(nèi)A和B加速度的大小
（2）A在B開始運(yùn)動(dòng)到A離開B時(shí)B的位移．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A、B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可以求出加速度的大��；
（2）求出2s后A、B的加速度，得出A、B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A離開B時(shí)B的位移．

解答 解：（1）在0～2s時(shí)間內(nèi)，A和B的受力如圖所示，
其中f₁、N₁是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，f₂、N₂是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．
由滑動(dòng)摩擦力公式和力的平衡條件得
f₁=μ₁N₁ …①
N₁=mgcosθ…②
f₂=μ₂N₂ …③
N₂=N₁+mgcosθ…④
規(guī)定沿斜面向下為正，設(shè)A和B的加速度分別為a₁和a₂，由牛頓第二定律得：
mgsinθ-f₁=ma₁ …⑤
mgsinθ+f₁-f₂=ma₂ …⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式，并代入題給的條件得：
a₁=3m/s² …⑦
a₂=1m/s²…⑧
（2）在t₁=2s時(shí)，設(shè)A和B的速度分別為v₁和v₂，則有：
v₁=a₁t₁=6m/s…⑨
v₂=a₂t₁=2m/s…⑩
t＞t₁時(shí)，設(shè)A和B的加速度分別為a₁′和a₂′，此時(shí)A與B之間摩擦力為零，同理可得：
a₁′=6m/s²…⑪
a₂′=-2m/s²…⑫
即B做減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₂，B的速度減為零，則有：
v₂+a₂′t₂=0…⑬
聯(lián)立⑩⑫⑬式得：
t₂=1s
在t₁+t₂時(shí)間內(nèi)，A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)的距離為：
s=$（\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{2}}^{2}）$$-（\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}′{{t}_{2}}^{2}）$
代入數(shù)據(jù)解得：s=12m＜27m
此后B靜止不動(dòng)，A繼續(xù)在B上滑動(dòng)．設(shè)再經(jīng)過時(shí)間t₃后A離開B，則有：
l-s=$（{v}_{1}+{a}_{2}′{t}_{2}）{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{1}′{{t}_{3}}^{2}$可得：
t₃=1s，
則B的位移為：X=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}′{{t}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×4+2×1-\frac{1}{2}×2×1m=3m$．
答：
（1）在0～2s時(shí)間內(nèi)A和B加速度的大小分別為3m/s²和1m/s²；
（2）A在B開始運(yùn)動(dòng)到A離開B時(shí)B的位移為3m．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合的應(yīng)用，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)的情況和受力的情況，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式來求解，本題的難度比較大．