Question

4．如圖，質量為M的滑塊B套在光滑的水平桿上可自由滑動，質量為m的小球A用一長為L的輕桿通過鉸鏈與B上的O點相連接，可繞O點在豎直平面內自由轉動，開始時輕桿處于水平位置．
（1）固定滑塊B，給小球A一豎直向上的初速度，使輕桿繞O點轉過90°，則小球初速度的最小值是多少？
（2）不固定滑塊B，若M=2m，給小球A一豎直向上的初速度v₀，則當A球運動至最高點，使輕桿繞O點轉過90°時，滑塊B的速度多大？
（3）在上述情況（2）中，則當A球運動至最高點時，滑塊B向左運動了多遠？

Answer 1

分析 （1）小球A連著的是輕桿，根據牛頓第二定律求出通過最高點的臨界速度，由機械能守恒定律求解小球初速度的最小值．
（2）滑塊B不固定時，A、B組成的系統(tǒng)水平方向所受的合力為零，根據水平方向動量守恒和機械能守恒定律求解．
（3）根據水平方向動量守恒，用位移與時間之比表示平均速度，根據平均動量守恒求解．

解答 解：（1）小球A連著的是輕桿，所以能通過最高點的條件為：v₁≥0
由機械能守恒定律得
 $\frac{1}{2}$mv₀²=mgL+$\frac{1}{2}$mv₁²
所以 v₀≥$\sqrt{2gL}$，即小球初速度得最小值是$\sqrt{2gL}$
（2）滑塊B不固定時，A、B組成的系統(tǒng)水平方向所受的合力為零，所以水平方向動量守恒．設A運動到最高點時A、B的速度分別為v_A、v_B，
取向右為正方向，由動量守恒和機械能守恒定律得
  mv_A-Mv_B=0
 $\frac{1}{2}$mv₀²=mgL+$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²
又 M=2m
解方程組得 v_B=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}-2gL}{6}}$
（3）當A球運動至最高點時，設滑塊B向左運動了距離x．則A相對于地向右運動了距離L-x．
根據水平方向平均動量守恒定律得：
  mv_A-Mv_B=0
即得 m$\frac{L-x}{t}$-M$\frac{x}{t}$=0
解得 x=$\frac{mL}{M+m}$
答：
（1）小球初速度的最小值是$\sqrt{2gL}$．
（2）當輕桿繞O點轉過90°A球運動至最高點時，B球的速度是$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}-2gL}{6}}$．
（3）當A球運動至最高點時，滑塊B向左運動了$\frac{mL}{M+m}$．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律，要清楚物體的運動過程，明確桿系小球到達最高點的臨界速度為零．第3小題．利用平均動量守恒求B的位移是常用的思路．