Question

13．如圖所示，一個(gè)折射率為$\frac{4}{3}$的三棱鏡的截面為等腰直角△ABC，∠A為直角．此截面所在平面內(nèi)的一束光線沿與AB邊成θ角（θ＜90°）的方向入射到AB邊的中點(diǎn)P處．若要光線進(jìn)入三棱鏡后能射到AC邊上且能在AC面上發(fā)生全反射，則cosθ應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 由折射定律得到光線在AB上的折射角，全反射可得出臨界角與折射率的關(guān)系．根據(jù)題設(shè)的兩個(gè)條件：一是光線能射到AC面上，得到入射角正弦的范圍；二是光線在AC面上發(fā)生全反射，則光線在AC面上的入射角β≥C，由幾何關(guān)系得到AB面上的折射角與入射角β的關(guān)系，聯(lián)立可求解

解答 解：光由空氣射向三棱鏡，在AB邊上發(fā)生折射，折射角為α，由折射定律得：$\frac{sin（90°-θ）}{sinα}$=n
當(dāng)光由三棱鏡射向空氣，臨界角為C時(shí)，發(fā)生全反射，所以 sinC=$\frac{1}{n}$
①要使光線能入射到AC邊上，由幾何關(guān)系
  sinα≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$
聯(lián)立解得：cosθ≥$\frac{4\sqrt{5}}{15}$；
②要使光線能在AC面上發(fā)生全反射，應(yīng)有β≥C
由幾何關(guān)系 α+β=90°
聯(lián)立解得：cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
綜上可得：$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
答：若要光線進(jìn)入三棱鏡后能射到AC邊上且能在AC面上發(fā)生全反射，則cosθ應(yīng)滿足$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵在于利用幾何關(guān)系找出入射角、折射角和它們之間的關(guān)系，由折射定律可列出方程求解．