Question

18．如圖，第一象限內(nèi)存在沿y軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E，第二，三，四象限存在方向垂直xOy平面向外的勻強磁場，其中第二象限的磁感應強度大小為B，第三，四象限磁感應強度大小相等，一帶正電的粒子，從P（-d，0）點沿與x軸正方向成α=60°角平行xOy平面入射，經(jīng)第二象限后恰好由y軸上的Q點（圖中未畫出）垂直y軸進入第一象限，之后經(jīng)第四，三象限重新回到P點，回到P點時速度方向與入射時相同，不計粒子重力，求：
（1）粒子從P點入射時的速度v₀；
（2）第三，四象限磁感應強度的大小B′．

Answer 1

分析 （1）粒子從P點射入磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)題意可知粒子在第二象限中運動時速度偏向角為30°，則軌跡對應的圓心角為30°，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何知識求出軌跡半徑，由洛倫茲力等于向心力，求解速度v₀．
（2）粒子進入電場中做類平拋運動，根據(jù)粒子經(jīng)第四、三象限重新回到P點，回到P點時速度方向與入射時相同，可知粒子進入第四象限時速度與x軸正方向的夾角為α，根據(jù)類平拋運動的規(guī)律求出粒子在電場中運動時的水平位移，從而粒子在第三、四象限運動的軌跡半徑，即可求解B′．

解答 解：（1）粒子從P點射入磁場中做勻速圓周運動，畫出軌跡如圖，設粒子在第二象限圓周運動的半徑為r，由幾何知識得：
  r=$\fracbftxp3n{sinα}$=$\frac7ddvlnx{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根據(jù)qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 v₀=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$
粒子在第一象限中做類平拋運動，則有
  r（1-cos60°）=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
  tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$
聯(lián)立解得 v₀=$\frac{E}{3B}$
（2）設粒子在第一象限類平拋運動的水平位移和豎直位移分別為x和y，根據(jù)粒子在第三、四象限圓周運動的對稱性可知粒子剛進入第四象限時速度與x軸正方向的夾角等于α．
則有：x=v₀t，y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
得 $\frac{y}{x}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{tanα}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由幾何知識可得 y=r-rcosα=$\frac{r}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}d$
則得 x=$\frac{2}{3}d$
所以粒子在第三、四象限圓周運動的半徑為 R=$\frac{\frac{1}{2}（d+\frac{2}{3}d）}{sinα}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$d
粒子進入第三、四象限運動的速度 v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=2v₀=$\frac{4\sqrt{3}qBd}{3m}$
根據(jù)qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：B′=$\frac{12}{5}$B
答：
（1）粒子從P點入射時的速度v₀為$\frac{E}{3B}$．
（2）第三，四象限磁感應強度的大小B′為$\frac{12}{5}$B．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握處理類平拋運動的方法，以及粒子在磁場中運動，會確定圓心、半徑和圓心角，這是解決粒子在復合場中運動的關(guān)鍵．