Question

14．火星和地球繞太陽(yáng)均可看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為2年，則火星與地球每隔2.3年相距最近一次．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列式可得周期的表達(dá)式，求得地球和火星的周期之比，這樣可以解出火星的周期．兩星轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差△θ=2π時(shí)，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時(shí)間

解答 解：設(shè)行星質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星與太陽(yáng)的距離為r，火星的周期為T₁，地球的周期為T₂．
行星繞太陽(yáng)做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律有
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
則得 T²=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}$
地球的周期為T₂=1年，則有（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）²=（$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$）³
解得火星的周期為T₁=1.8年
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩星又一次距離最近，
根據(jù)θ=ωt
則兩星轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差
△θ=（$\frac{2π}{{T}_{2}}$-$\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
得t=2.3年
故答案為：2.3

點(diǎn)評(píng) 本題也可運(yùn)用開(kāi)普勒周期定律求解火星的運(yùn)動(dòng)周期．這種方法，很好理解，關(guān)鍵確定相距最近的條件