Question

2．特種兵過山谷的一種方法可化簡為如圖所示的模型：將一根長為2d、不可伸長的細繩的兩端固定在相距為d的A、B兩等高處，懸繩上有小滑輪P，戰(zhàn)士們相互配合，可沿著細繩滑到對面．開始時，戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止狀態(tài)，AP豎直（不計滑輪與繩的質(zhì)量，不計滑輪的大小及摩擦），則此時甲對滑輪的水平拉力為多少；若甲將滑輪由靜止釋放，則乙在滑動中速度的最大值為多少；下列結(jié)果正確的是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• B． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• C． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
• D． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{1}{3}）gd}$

Answer 1

分析 （1）戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止狀態(tài)，對滑輪受力分析應用平衡條件可求出甲的拉力．
（2）甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對其做功，所以下落到最低點是速度最大，求出最大的下落高度，應用動能定理可求出戰(zhàn)士乙的最大速度

解答 解：對滑輪受力分析并正交分解如圖：

同一根繩上的拉力相等，故AP，BP繩上的拉力均為F
設AP的長度為：x，則BP長度為：2d-x
在直角三角形ABP中：${\overline{BP}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{AP}}^{2}$
即：（2d-x）²=d²+x²
解得：x=$\frac{3}{4}d$，即：AP長度為：$\frac{3}{4}d$，BP長度為：$\frac{5}{4}d$
即：∠APB=53°
所以：F₁=Fcos53°=0.6F
F₂=Fsin53°=0.8F
由滑輪平衡得：
y方向：mg=F+F₁=F+0.6F
解得：F=$\frac{mg}{1.6}$
x方向：F₂=F_拉，即：F_拉=0.8×$\frac{mg}{1.6}=\frac{mg}{2}$
甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對其做功，所以下落到最低點是速度最大，下落到最低點時，繩子如圖

此時三條邊均為d，三角形為正三角形，即：每個角為60°
所以此時P距離A點的豎直高度OP為：dsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
從靜止到此狀態(tài)戰(zhàn)士乙共下落的高度h為：h=$\frac{\sqrt{3}}{2}d-\frac{3}{4}d$
設此時的速度為v，在下落過程中只有重力做功，做的功為：mgh
由動能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
故選：C

點評 此題主要考察平衡條件的應用，難點在于根據(jù)繩子的長度算出直角三角形的角度，需要細細品味．在下落的過程中最低點速度是最大的，難點在求出下落到最低點時下落的高度是多少，需要數(shù)形結(jié)合，總體來說是個難題，每一步都需要仔細推敲．