Question

2．特種兵過(guò)山谷的一種方法可化簡(jiǎn)為如圖所示的模型：將一根長(zhǎng)為2d、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩的兩端固定在相距為d的A、B兩等高處，懸繩上有小滑輪P，戰(zhàn)士們相互配合，可沿著細(xì)繩滑到對(duì)面．開(kāi)始時(shí)，戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，AP豎直（不計(jì)滑輪與繩的質(zhì)量，不計(jì)滑輪的大小及摩擦），則此時(shí)甲對(duì)滑輪的水平拉力為多少；若甲將滑輪由靜止釋放，則乙在滑動(dòng)中速度的最大值為多少；下列結(jié)果正確的是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• B． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• C． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
• D． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{1}{3}）gd}$

Answer 1

分析 （1）戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)滑輪受力分析應(yīng)用平衡條件可求出甲的拉力．
（2）甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對(duì)其做功，所以下落到最低點(diǎn)是速度最大，求出最大的下落高度，應(yīng)用動(dòng)能定理可求出戰(zhàn)士乙的最大速度

解答 解：對(duì)滑輪受力分析并正交分解如圖：

同一根繩上的拉力相等，故AP，BP繩上的拉力均為F
設(shè)AP的長(zhǎng)度為：x，則BP長(zhǎng)度為：2d-x
在直角三角形ABP中：${\overline{BP}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{AP}}^{2}$
即：（2d-x）²=d²+x²
解得：x=$\frac{3}{4}d$，即：AP長(zhǎng)度為：$\frac{3}{4}d$，BP長(zhǎng)度為：$\frac{5}{4}d$
即：∠APB=53°
所以：F₁=Fcos53°=0.6F
F₂=Fsin53°=0.8F
由滑輪平衡得：
y方向：mg=F+F₁=F+0.6F
解得：F=$\frac{mg}{1.6}$
x方向：F₂=F_拉，即：F_拉=0.8×$\frac{mg}{1.6}=\frac{mg}{2}$
甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對(duì)其做功，所以下落到最低點(diǎn)是速度最大，下落到最低點(diǎn)時(shí)，繩子如圖

此時(shí)三條邊均為d，三角形為正三角形，即：每個(gè)角為60°
所以此時(shí)P距離A點(diǎn)的豎直高度OP為：dsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
從靜止到此狀態(tài)戰(zhàn)士乙共下落的高度h為：h=$\frac{\sqrt{3}}{2}d-\frac{3}{4}d$
設(shè)此時(shí)的速度為v，在下落過(guò)程中只有重力做功，做的功為：mgh
由動(dòng)能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 此題主要考察平衡條件的應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)繩子的長(zhǎng)度算出直角三角形的角度，需要細(xì)細(xì)品味．在下落的過(guò)程中最低點(diǎn)速度是最大的，難點(diǎn)在求出下落到最低點(diǎn)時(shí)下落的高度是多少，需要數(shù)形結(jié)合，總體來(lái)說(shuō)是個(gè)難題，每一步都需要仔細(xì)推敲．