Question

10．如圖所示，在粗糙水平臺(tái)階上A點(diǎn)靜止放置一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊，它與水平臺(tái)階表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，且與臺(tái)階邊緣O點(diǎn)的距離s=5m．在臺(tái)階右側(cè)固定了一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓弧形擋板，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，擋板上邊緣P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.6m，0.8m）．現(xiàn)用F=5N的水平恒力拉動(dòng)小物塊，一段時(shí)間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板（g=10m/s²）．
（1）若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點(diǎn)，求拉力F作用的距離；
（2）改變拉力F的作用時(shí)間，小物塊可擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時(shí)小物塊動(dòng)能的最小值．（結(jié)果可保留根式）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再結(jié)合水平位移和時(shí)間求出物塊離開O點(diǎn)的速度；根據(jù)動(dòng)能定理求出拉力F作用的距離．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，結(jié)合橢圓方程，根據(jù)動(dòng)能定理求出擊中擋板的小物塊動(dòng)能的最小值

解答 解：（1）小物塊從O到P做平拋運(yùn)動(dòng)
水平方向x=v₀t
豎直方向y=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₀=4m/s；
為使小物塊擊中檔板，小物塊必須能運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，設(shè)拉力F作用的最短距離為x₁，
由動(dòng)能定理得：Fx₁-μmgs=△E_k-0=0
解得：x₁=$\frac{μmgs}{F}$=$\frac{0.5×0.5×10×5}{5}$=2.5m；
為使小物體不會(huì)飛出檔板，小物塊的平拋初速度不能超過(guò)4m/s；設(shè)拉力F作用的最長(zhǎng)距離為x2，由動(dòng)能定理可得：
Fx₂-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：x₂=$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}+μmgs}{F}$=$\frac{\frac{1}{2}×0.5×16+0.5×0.5×10×5}{5}$m=3.3m；
故為使物塊擊中檔板，拉力F的作用距離范圍為：
2.5＜x≤3.3；
（2）設(shè)小物塊擊中檔板的任意點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，y）；則有：
x=v₀t′
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由機(jī)械能守恒定律得：
E_k=$\frac{1}{2}$mv₀′²+mgy
又x²+y²=R²
由P點(diǎn)坐標(biāo)可求R²=3.2
化簡(jiǎn)得：
E_K=$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$+$\frac{3mgy}{4}$=$\frac{4}{y}$+$\frac{15y}{4}$
由數(shù)學(xué)方法可得：
E_kmin=2$\sqrt{15}$J；
答：（1）F的作用范圍為2.5＜x≤3.3；
（2）動(dòng)能的最小值為2$\sqrt{15}$J

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中等，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并能熟練應(yīng)用．