Question

7．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的小物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的小物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過(guò)B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動(dòng)，物塊由B到D位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）BD間的距離；
（2）判斷小物塊m₂能否沿圓弧軌道到達(dá)M點(diǎn)（要求寫(xiě)出判斷過(guò)程）；
（3）小物塊m₂由C點(diǎn)釋放運(yùn)動(dòng)到D過(guò)程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）物體在桌面上的運(yùn)動(dòng)為先加速后勻減速，根據(jù)滿足的關(guān)系式即可求出BD間的距離；
（2）先假設(shè)能到達(dá)M點(diǎn)，然后根據(jù)能量守恒定律求出需要的初速度，然后與實(shí)際的初速度進(jìn)行比較即可．
（3）質(zhì)量m₁=0.4kg的小物塊由C到B的過(guò)程中彈簧的彈力與摩擦力做功，由功能關(guān)系求出彈簧的彈性勢(shì)能；小物塊m₂由C點(diǎn)釋放運(yùn)動(dòng)到D過(guò)程中彈簧的彈力與摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求得．

解答 解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速V_D做平拋，平拋用時(shí)為t，則在豎直方向上：
R=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)得：t=0.4s
v_y=gt
代入數(shù)據(jù)得：v_y=4m/s
因?yàn)槲飰K在P點(diǎn)的速度方向與水平面成45°，所以：
v_D=v_y=4m/s
物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系滿足：s=6t-2t²
故過(guò)B點(diǎn)后初速V₀=6m/s，加速度為：a=-4m/s²
BD間位移為：${s}_{BD}=\frac{{v}_{D}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}-{6}^{2}}{2×（-4）}$=2.5 m
（2）若物塊能過(guò)最高點(diǎn)，其在M點(diǎn)的速度至少為：${v}_{M}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.8}=2\sqrt{2}$m/s，
設(shè)物塊在P點(diǎn)的速度至少為v_p，由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{P}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{M}^{2}+{m}_{2}gR（1+cos45°）$
代入數(shù)據(jù)得：v_p=5.94m/s
在P點(diǎn)時(shí)物塊的速度為：
$v=\sqrt{{v}_{y}^{2}+{v}_{D}^{2}}=4\sqrt{2}$m/s≈5.66m/s
因v_物＜v_p，
即物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）物塊在桌面上滑動(dòng)的過(guò)程中的加速度為a，則動(dòng)摩擦因數(shù)：$μ=\frac{-ma}{mg}=\frac{4m}{10m}=0.4$，
設(shè)BC之間的距離是L，質(zhì)量m₁=0.4kg的小物塊由C到B的過(guò)程中彈簧的彈力與摩擦力做功，則：
E_P-μm₁gL=0-0
小物塊m₂由C點(diǎn)釋放運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中彈簧的彈力與摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
${E}_{P}-μ{m}_{2}gL=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上兩個(gè)公式得：$μ{m}_{2}gL=\frac{{mv}_{0}^{2}}{2}=3.6$J=W
B到D的過(guò)程中摩擦力做功，得：$-W′=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：W′=2J
小物塊m₂由C點(diǎn)釋放運(yùn)動(dòng)到D過(guò)程中克服摩擦力做的功為：W_f=W+W′=3.6+2=5.6J
答：（1）BD間的水平距離為2.5m；
（2）物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）小物塊m₂由C點(diǎn)釋放運(yùn)動(dòng)到D過(guò)程中克服摩擦力做的功是5.6J．

點(diǎn)評(píng) 該題考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，設(shè)計(jì)的過(guò)程比較多，此題注意分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找清各物理量之間的關(guān)系，然后根據(jù)各運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答即可．