Question

5．如圖所示，足夠長的固定木板的傾角為37°，勁度系數(shù)k=36N/m的輕質(zhì)彈簧的一端固定在木板上的P點，圖中A、P間距等于彈簧的自然長度，現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg的可視為質(zhì)點的物塊放在木板上，在外力作用下將彈簧壓縮到某一位置B點后釋放，已知木板PA段光滑，AQ段粗糙，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{3}{8}$，物塊在B點釋放后將向上運動，第一次到達A點時速度大小為v₀=3$\sqrt{3}$m/s．取重力加速度g=10m/s²
（1）求物塊第一次向下運動到A點時的速度大小v₁；
（2）已知彈簧彈性勢能表達式為E_P=$\frac{1}{2}$kx²（其中x為彈簧形變量），求物塊第一次向下運動過程中的最大速度值v；
（3）求物塊在A點上方運動的總時間t．

Answer 1

分析 （1）運用動能定理，對物塊在AQ段上滑和下滑過程分別列式，即可求解v₁；
（2）物塊第一次向下運動過程中合力為零時速度最大，由胡克定律和平衡條件求出速度最大時彈簧的壓縮量，再由系統(tǒng)的機械能守恒求最大速度v．
（3）根據(jù)位移等于平均速度乘以時間，求物塊上滑和下滑的時間，從而求得總時間．

解答 解：（1）設物塊從A點向上滑行的最大距離為S．根據(jù)動能定理，
上滑過程有：-mgSsin37°-μmgScos37°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
下滑過程有：mgSsin37°-μmgScos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-0
聯(lián)立解得：S=1.5m，v₁=3m/s
（2）物塊第一次向下運動過程中合力為零時速度最大，則有：
mgsin37°=kx
根據(jù)物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mgsin37°x=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}$kx²；
解得：v=$\sqrt{10}$m/s
（3）設物塊在A點上方上滑和下滑的時間分別為t₁和t₂．則有：
S=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$，S=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}$
總時間為：t=t₁+t₂；
聯(lián)立解得：t=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$s
答：（1）物塊第一次向下運動到A點時的速度大小v₁是3m/s．
（2）物塊第一次向下運動過程中的最大速度值v是$\sqrt{10}$m/s．
（3）物塊在A點上方運動的總時間t是$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$s．

點評 解決本題的關(guān)鍵要分段運用動能定理、機械能守恒定律研究物塊的運動過程，要把握題中的信息：彈性勢能表達式E_P=$\frac{1}{2}$kx²．要注意物塊壓縮彈簧時系統(tǒng)的機械能守恒，物塊的機械能并不守恒．