Question

2．如圖所示，在Oxy平面（紙面）內(nèi)有垂直平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一足夠長的擋板MN與x軸成30°角傾斜放置且通過原點(diǎn)O，放射源A的位置坐標(biāo)為（0，a）．某時(shí)刻，放射源A沿紙面向第一象限內(nèi)的各個(gè)方向均勻地輻射同種帶正電的粒子，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，速率均為$\frac{{\sqrt{3}aqB}}{2m}$．不計(jì)粒子的重力、不考慮粒子間的相互作用，打到擋板的粒子均被接地的擋板吸收．

（1）求在同一時(shí)刻，放射源A發(fā)出的能夠到達(dá)擋板的粒子中，最后到達(dá)擋板的粒子和最先到達(dá)擋板的粒子的時(shí)間差；
（2）保持擋板與x軸正方向的夾角30°不變，在紙面內(nèi)沿y軸負(fù)方向?qū)�擋板MN平移至某一位置，發(fā)現(xiàn)從放射源A發(fā)出的所有粒子中總有$\frac{1}{3}$的粒子能擊中擋板，求擋板與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力即可求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后求出周期．根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及最后到達(dá)擋板的粒子和最先到達(dá)擋板的粒子的時(shí)間差；
（2）發(fā)生的粒子角度的范圍是180°，若有$\frac{1}{3}$的粒子能擊中擋板，則對(duì)應(yīng)的角度為60°的范圍，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出60°的角的時(shí)候的幾何關(guān)系即可正確解答．

解答 解：（1）正粒子在紙面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得：$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
弦長最短時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角最小，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．過A點(diǎn)作擋板的垂線，垂足為C，AC即為最短弦，其對(duì)應(yīng)的圓心為O₁．在直角△OCA中：$AC=a•sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
可見，△O₁AC為等邊三角形，則：$∠A{O_1}C={60^o}$
故在某一時(shí)刻，從放射源出發(fā)最先到達(dá)擋板的粒子（甲）用時(shí)：${t_{min}}=\frac{{{{60}^o}}}{{{{360}^o}}}{T_1}$
在該時(shí)刻，從放射源出發(fā)向上運(yùn)動(dòng)的粒子最后到達(dá)擋板（乙）用時(shí)最長，對(duì)應(yīng)的弦為直徑$\sqrt{3}a$
過A點(diǎn)作y軸的垂線，垂線AD交擋板于D點(diǎn)，在直角△OAD中：$AD=a•tan{60^0}=\sqrt{3}a$
故沿y軸正方向射出的乙粒子經(jīng)過半個(gè)圓周最后到達(dá)擋板上的D點(diǎn)，用時(shí)：${t_{max}}=\frac{T_2}{2}$
甲、乙兩粒子速率相同，由周期公式：${T_1}={T_2}=\frac{2πm}{qB}$
聯(lián)立解得甲、乙兩粒子到達(dá)擋板的時(shí)間差：$△t=\frac{2πm}{3qB}$

（2）如圖2，以A點(diǎn)為圓心，以$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$為半徑畫出所有粒子圓心的軌跡（半圓）．在直線AC上取點(diǎn)Q，令$CQ=AC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，當(dāng)擋板平移到Q點(diǎn)的下方時(shí)，所有粒子都不能到達(dá)擋板．
假設(shè)當(dāng)擋板平移到y(tǒng)軸負(fù)方向上的P點(diǎn)時(shí)，從放射源A發(fā)出的所有粒子中有$\frac{1}{3}$的粒子能擊中擋板．作EF∥MN，交半圓周于E、F，分別過E、F點(diǎn)作擋板的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足為G、H，令$EG=FH=R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，當(dāng)∠EAF=60°時(shí)，將有$\frac{1}{3}$的粒子（圓心位置在弧$\widehat{EF}$之間的粒子）能擊中擋板．由于∠EAC=30°，故E點(diǎn)必在y軸上．
由幾何關(guān)系：$AP=R+\frac{R}{{sin{{60}^0}}}$
P點(diǎn)縱坐標(biāo)：y_p=-（AP-a）
聯(lián)立解得：${y_p}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
答：（1）在同一時(shí)刻，放射源A發(fā)出的能夠到達(dá)擋板的粒子中，最后到達(dá)擋板的粒子和最先到達(dá)擋板的粒子的時(shí)間差是$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）發(fā)現(xiàn)從放射源A發(fā)出的所有粒子中總有$\frac{1}{3}$的粒子能擊中擋板，擋板與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是$-\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求粒子做圓周運(yùn)到達(dá)周期、運(yùn)動(dòng)時(shí)間等問題，難度較大，尤其是計(jì)算總有$\frac{1}{3}$的粒子能擊中擋板時(shí)，要根據(jù)幾何關(guān)系求出帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角有兩個(gè)，要注意分別進(jìn)行求解．