Question

2．如圖所示，豎直放置的平行導(dǎo)軌由四部分組成，其中只有水平部分是導(dǎo)體材料做的，其余部分均為絕緣材料，整個軌道處在豎直向上的勻強磁場中（磁場未畫出）．a(chǎn)b、a'b'是四分之一光滑圓弧形軌道，下端切線水平；bc、b'c'是拋物線軌道，cd、c'd'是傾斜軌道，de、d'e'是光滑水平軌道（足夠長）．傾斜軌道與水平軌道平滑連接．金屬棒過dd'前后的速度大小不變，金屬桿M₁N₁從靜止開始沿軌道頂端aa'下滑，與拋物線軌道恰好無相互作用力并且恰好沿著傾斜軌道勻速滑下，之后進入水平軌道（0水平軌道上原來放有一根金屬桿M₂N₂），在運動過程中兩桿始終與導(dǎo)軌垂直并接觸良好．已知圓弧半徑為R=0.2m，M₁N₁的質(zhì)量為m=1kg，M₂N₂的質(zhì)量為2m，cd、c'd'傾斜軌道傾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），cd、c'd'傾斜軌道長度s=0.5m，取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）金屬桿M₁N₁在bc、b'c'拋物線軌道上運動的時間t₁；
（2）金屬棒M₁N₁和M₂N₂的最終速度是多大？
（3）整個過程中損失的機械能△E是多少？

Answer 1

分析 （1）棒M₁N₁在ab之間運動的過程中機械能守恒，由此求出到達b的速度；然后將運動分解即可求出；
（2）將c點的速度分解，即可求出棒M₁N₁到達c的速度；由動量守恒即可求出棒M₁N₁最終的速度；
（3）整個過程中損失的機械能為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能以及電磁感應(yīng)的過程中產(chǎn)生的內(nèi)能，由此即可求出．

解答 解：（1）棒M₁N₁在ab之間運動的過程中機械能守恒，得：$mgR=\frac{1}{2}mv_0^2$   ①，
解得${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$   ②，
設(shè)棒M₁N₁平拋運動的時間為t₁，則豎直方向：v_y=gt₁ ③
根據(jù)題意，在c點：v_y=v₀tanθ    ④
由②③④，代入數(shù)據(jù)得：t₁=$\frac{4}{15}$s  ⑤
（2）棒M₁N₁到達c的速度：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{10}{3}m/s$  ⑥，
金屬棒M₁N₁進入水平軌道后，由于軌道是金屬導(dǎo)軌，兩個金屬棒與軌道組成閉合回路，在電路中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，金屬棒M₁N₁和M₂N₂的ab系統(tǒng)水平方向的動量守恒，設(shè)向右為正方向，有：
mv₁=（m+2m）v₂ ⑦，
由②⑥⑦解得：${v}_{2}=\frac{1}{3}{v}_{1}=\frac{10}{9}m/s$
（3）金屬棒M₁N₁在斜面上運動的過程中，摩擦生熱：Q₁=μmgs₀cosθ   ⑧
由于做勻速直線運動，則：μmgcosθ=mgsinθ  ⑨
聯(lián)立得Q₁=mgs₀sinθ
代入數(shù)據(jù)得：Q₁=4.0J
金屬棒M₁N₁和M₂N₂相互作用的過程中產(chǎn)生的電熱：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（m+2m）{v}_{2}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)得：Q₂=3.7J
所以：E=Q₁+Q₂=4.0J+3.7J=7.7J
答：（1）金屬桿M₁N₁在bc、b'c'拋物線軌道上運動的時間是$\frac{4}{15}$s；
（2）金屬棒M₁N₁和M₂N₂的最終速度是$\frac{10}{9}$m/s；
（3）整個過程中損失的機械能△E是7.7J．

點評 該題屬于力、電綜合，解答該題的思路要注意考慮兩點：一是從力的角度，可以根據(jù)平拋運動、動量守恒定律，或根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律列出方程；二是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．