Question

6．質(zhì)量為M的火車(chē)，以恒定的速率在水平面內(nèi)沿一段半徑為r的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎，已知路面的傾角為α試求：
（1）速度V₀為多大時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力正好為零？
（2）若火車(chē)速度提高2V₀時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？
（3）若火車(chē)的速度減小為$\frac{{V}_{0}}{2}$時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？

Answer 1

分析 分析火車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)受力情況，內(nèi)、外軌道均不受側(cè)壓力作用，恰好由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得出轉(zhuǎn)彎半徑r與速度v的關(guān)系．由牛頓第二定律分析火車(chē)速度變化時(shí)哪側(cè)軌道受到側(cè)壓力．

解答 解：（1）由題，內(nèi)、外軌道均不受側(cè)壓力作用，則轉(zhuǎn)彎時(shí)火車(chē)受力情況如圖，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{grtanθ}$．
（2）若火車(chē)速度提高2v₀時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，對(duì)外軌有側(cè)壓力，根據(jù)牛頓第二定律得：
F+mgtanθ=$m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
解得：F=3mgtanθ．
（3）若火車(chē)的速度減小為$\frac{{v}_{0}}{2}$時(shí)，重力和支持力的合力大于向心力，對(duì)內(nèi)軌有側(cè)壓力，根據(jù)牛頓第二定律得：
$mgtanθ-F′=m\frac{（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}}{r}$，
解得：$F′=\frac{3mg}{4}tanθ$．
答：（1）速度V₀為$\sqrt{grtanθ}$時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力正好為零．
（2）若火車(chē)速度提高2V₀時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為3mgtanθ．
（3）若火車(chē)的速度減小為$\frac{{V}_{0}}{2}$時(shí)，車(chē)輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為$\frac{3mg}{4}tanθ$．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用牛頓第二定律分析生活實(shí)際中的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于指向圓心的合力進(jìn)行分析．