Question

12．如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉動的水平圓盤，上面放置勁度系數為k=26N/m的彈簧，彈簧的一端固定于軸O點，另一端連接質量為m=1kg的小物塊A，物塊與盤間的動摩擦因數為μ=0.2，開始時彈簧未發(fā)生形變，長度為l₀=0.5m，若最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，重力加速度g=10m/s²，物塊A始終與圓盤一起轉動，則：
（1）圓盤的角速度多大時，物塊A將開始滑動？
（2）當角速度緩慢地增加到4rad/s時，彈簧的伸長量是多少？（彈簧伸長在彈性限度內且物塊未脫離圓盤）．
（3）在角速度從零緩慢地增加到4rad/s過程中，物塊與盤間摩擦力大小為f，試通過計算在坐標系中作出f-ω²圖象．

Answer 1

分析 （1）物塊開始滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，列式即可求得此時的角速度．
（2）分析此時受到的力，在水平方向上受摩擦力和彈簧的彈力，其合力提供向心力，設出彈簧的伸長量，列式即可求得彈簧的伸長量，
（3）分段分析物塊滑動前摩擦力的表達式和滑動后摩擦力的表達式，即可得知f-ω²圖．

解答 解：（1）設盤的角速度為ω₀時，物塊A將開始滑動，則$μmg=m{{ω}_{0}}^{2}{l}_{0}$，
解得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{{l}_{0}}}=\sqrt{\frac{0.2×10}{0.5}}rad/s=2rad/s$．
（2）設此時彈簧的伸長量為△x，則μmg+k△x=mω²（l₀+△x），
代入數據解得△x=0.6m．
（3）在角速度從零緩慢地增加到2rad/s過程中，物塊與盤間摩擦力為靜摩擦力$f=m{l}_{0}{ω}^{2}$，f∝ω²，f隨著角速度平方的增加而增大；
當ω＞2rad/s時，物塊與盤間摩擦力為滑動摩擦力為定值f=μmg=2N．

答：（1）圓盤的角速度2rad/s時，物塊A將開始滑動；
（2）彈簧的伸長量是0.6m．
（3）f-ω²圖象如圖所示．

點評 當物體相對于接觸物體剛要滑動時，靜摩擦力達到最大，這是經常用到的臨界條件．本題關鍵是正確分析物體的受力情況．同時要明確向心力是沿半徑方向上的所有力的合力．