Question

14．我國在2008年10月24日發(fā)射了“嫦娥一號”探月衛(wèi)星．同學們也對月球有了更多的關注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動可近似看作勻速圓周運動，試求月球繞地球運動的軌道半徑．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度V₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r，萬有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）先根據(jù)豎直上拋運動的知識求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式得：
G$\frac{M{M}_{月}}{R{′}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²R′
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得R′=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)題意得：
v₀=$\frac{{g}_{月}t}{2}$，
g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$
解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點評 本題關鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進行列式求解．