Question

17．如圖所示，一個半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電圓環(huán)固定在真空中，環(huán)心為O，MN是其中軸線．現(xiàn)讓一電荷量為-q、質(zhì)量為m的帶電粒子從MN上的P點(diǎn)由靜止釋放，P、O間的距離為d．不計(jì)粒子重力．試證明：當(dāng)d＜＜R時，帶電粒子做簡諧運(yùn)動．

Answer 1

分析 分析圓環(huán)在x軸上產(chǎn)生的電場分布，根據(jù)帶電粒子受力情況明確是否滿足簡諧運(yùn)動的回復(fù)力條件；則可證明．

解答 解：
沿圓環(huán)的軸線建立坐標(biāo)軸，O是原點(diǎn)．把圓環(huán)分成若干等份，每一份都很小，可視為點(diǎn)電荷．設(shè)每一份的電荷量為△Q，則它在x軸上某一點(diǎn)沿x軸方向的場強(qiáng)$△E=k\frac{△Q}{{{x^2}+{R^2}}}•\frac{x}{{\sqrt{{x^2}+{R^2}}}}=k\frac{△Q•x}{{{{（{x^2}+{R^2}）}^{\frac{3}{2}}}}}$，由場的疊加原理和對稱性可知，圓環(huán)在這一點(diǎn)的合場強(qiáng)$E=\frac{kQ}{{{{（{x^2}+{R^2}）}^{\frac{3}{2}}}}}x$．當(dāng)x＜＜R時，${（{x^2}+{R^2}）^{\frac{3}{2}}}≈{R^3}$，則圓環(huán)在軸線上的場強(qiáng)$E≈\frac{kQ}{R^3}x$，即E∝x，所以帶電粒子在運(yùn)動過程中所受的電場力大小F∝x，又因?yàn)镕的方向與位移x的方向相反，所以當(dāng)d＜＜R時，粒子做簡諧運(yùn)動．
故可證．

點(diǎn)評 本題要注意分析場的疊加原理和對稱性；也可以由以下證明方法：帶電圓環(huán)軸線上的場強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系與圖象相似．當(dāng)d＜＜R時，在x∈[-d，d]區(qū)間內(nèi)E-x圖象可近似看做一條直線，即E∝x，所以帶電粒子在運(yùn)動過程中所受的電場力大小F∝x，又因?yàn)镕的方向與位移x的方向相反，所以當(dāng)d＜＜R時，粒子做簡諧運(yùn)動．