Question

15．無限長通電螺線管內(nèi)部的磁場可認為是勻強磁場．現(xiàn)有一個足夠長螺線管1，半徑為R，甲圖是它的橫截面圖，圓心為O點．在螺線管1中通入順時針的隨時間變化的電流I=2t，它在螺線管內(nèi)部產(chǎn)生的磁場為B=2kI．在P處放置一個單匝、半徑為 r（r＜R）的圓形導體框，圓心亦在O處，則：
（1）線框中產(chǎn)生的感應電動勢?多大？（不考慮感應電流對螺線管磁場的影響）
（2）產(chǎn)生上述感應電動勢的原因可概括為：變化的磁場在P處產(chǎn)生了一個電場線閉合的環(huán)形感應電場E（不是靜電場），如圖乙所示，感應電場力（是非靜電力）對導體內(nèi)電荷做功，形成感應電動勢．已知感應電動勢的大小等于每庫侖正電荷沿導體框運動一周時感應電場力對該電荷做的功的大小，由此請求出P處的感應電場的場強E的大小．
（3）現(xiàn)撤去導體框，在距圓心O為r′（ r′＜R）處由靜止釋放一點電荷（電量為q，質量為m，忽略其所受重力），由t=0時刻釋放，要讓該點電荷恰好能繞O點做半徑為r′的圓周運動，需要在點電荷的圓軌道帶（即丙圖兩虛線間的中間區(qū)域，該區(qū)域的寬度相比r′可以忽略不計）再加一個勻強磁場B₁，求B₁的表達式和方向．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)電流I=2t，及磁場為B=2kI，從而確定磁場與時間的關系，再依據(jù)法拉第電磁感應定律，即可求解；
（2）根據(jù)感應電場力做功：W=Eq•2πr，結合?=$\frac{W}{q}$，即可求解電場強度；
（3）依據(jù)牛頓第二定律，及運動學公式，及洛倫茲力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）由題意可知：B=4kt                              
所以感應電動勢為：?=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B}{△t}S$=4kπr²              
（2）設正電荷帶電量為q，運動一周，感應電場力做功：W=Eq•2πr     
?=$\frac{W}{q}$=$\frac{Eq•2πr}{q}$=2πrE                           
所以：E=$\frac{?}{2πr}$=2kr                            
（3）據(jù)（2）知，在r′處會出現(xiàn)環(huán)形感應電場：E′=2kr′
在沿圓軌道的切線方向，電荷加速：
qE′=ma
且v=at
又電荷做圓周運動，故：qv（B+B₁）=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$
聯(lián)立以上三式：B₁=-2kt
即在軌道帶加一個垂直紙面向外、大小與時間關系為B₁=2kt的磁場；
答：（1）線框中產(chǎn)生的感應電動勢4kπr²；
（2）P處的感應電場的場強E的大小2kr．
（3）B₁的表達式B₁=2kt和方向垂直紙面向外．

點評 考查法拉第電磁感應與牛頓第二定律的內(nèi)容，掌握圓周運動中由洛倫茲力提供向心力的表達式，注意感應電動勢與電場強度物量的符號區(qū)別．