Question

15．無限長通電螺線管內(nèi)部的磁場可認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)有一個(gè)足夠長螺線管1，半徑為R，甲圖是它的橫截面圖，圓心為O點(diǎn)．在螺線管1中通入順時(shí)針的隨時(shí)間變化的電流I=2t，它在螺線管內(nèi)部產(chǎn)生的磁場為B=2kI．在P處放置一個(gè)單匝、半徑為 r（r＜R）的圓形導(dǎo)體框，圓心亦在O處，則：
（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢?多大？（不考慮感應(yīng)電流對螺線管磁場的影響）
（2）產(chǎn)生上述感應(yīng)電動(dòng)勢的原因可概括為：變化的磁場在P處產(chǎn)生了一個(gè)電場線閉合的環(huán)形感應(yīng)電場E（不是靜電場），如圖乙所示，感應(yīng)電場力（是非靜電力）對導(dǎo)體內(nèi)電荷做功，形成感應(yīng)電動(dòng)勢．已知感應(yīng)電動(dòng)勢的大小等于每庫侖正電荷沿導(dǎo)體框運(yùn)動(dòng)一周時(shí)感應(yīng)電場力對該電荷做的功的大小，由此請求出P處的感應(yīng)電場的場強(qiáng)E的大�。�
（3）現(xiàn)撤去導(dǎo)體框，在距圓心O為r′（ r′＜R）處由靜止釋放一點(diǎn)電荷（電量為q，質(zhì)量為m，忽略其所受重力），由t=0時(shí)刻釋放，要讓該點(diǎn)電荷恰好能繞O點(diǎn)做半徑為r′的圓周運(yùn)動(dòng)，需要在點(diǎn)電荷的圓軌道帶（即丙圖兩虛線間的中間區(qū)域，該區(qū)域的寬度相比r′可以忽略不計(jì)）再加一個(gè)勻強(qiáng)磁場B₁，求B₁的表達(dá)式和方向．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)電流I=2t，及磁場為B=2kI，從而確定磁場與時(shí)間的關(guān)系，再依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，即可求解；
（2）根據(jù)感應(yīng)電場力做功：W=Eq•2πr，結(jié)合?=$\frac{W}{q}$，即可求解電場強(qiáng)度；
（3）依據(jù)牛頓第二定律，及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，及洛倫茲力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）由題意可知：B=4kt                              
所以感應(yīng)電動(dòng)勢為：?=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B}{△t}S$=4kπr²              
（2）設(shè)正電荷帶電量為q，運(yùn)動(dòng)一周，感應(yīng)電場力做功：W=Eq•2πr     
?=$\frac{W}{q}$=$\frac{Eq•2πr}{q}$=2πrE                           
所以：E=$\frac{?}{2πr}$=2kr                            
（3）據(jù)（2）知，在r′處會(huì)出現(xiàn)環(huán)形感應(yīng)電場：E′=2kr′
在沿圓軌道的切線方向，電荷加速：
qE′=ma
且v=at
又電荷做圓周運(yùn)動(dòng)，故：qv（B+B₁）=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$
聯(lián)立以上三式：B₁=-2kt
即在軌道帶加一個(gè)垂直紙面向外、大小與時(shí)間關(guān)系為B₁=2kt的磁場；
答：（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢4kπr²；
（2）P處的感應(yīng)電場的場強(qiáng)E的大小2kr．
（3）B₁的表達(dá)式B₁=2kt和方向垂直紙面向外．

點(diǎn)評 考查法拉第電磁感應(yīng)與牛頓第二定律的內(nèi)容，掌握圓周運(yùn)動(dòng)中由洛倫茲力提供向心力的表達(dá)式，注意感應(yīng)電動(dòng)勢與電場強(qiáng)度物量的符號區(qū)別．