Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長(zhǎng)為L(zhǎng) 的細(xì)線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線，E為A正下方的一點(diǎn)，且AE=0.5L，過(guò)E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不計(jì)細(xì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失，不考慮小球與細(xì)線間的碰撞．
（1）若釘鐵釘位置在E點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明細(xì)線與釘子第一次碰撞后，細(xì)線是否會(huì)被拉斷？
（2）要使小球能繞鐵釘在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值．

Answer 1

分析 （1）若釘子在E點(diǎn)，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉?lái)一半，先根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式分別求出繩子的拉力，與最大拉力比較即可判斷；
（2）設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v₁，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律列式求解x的最大值，小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)重力提供向心力，列出方程，從釋放到運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理列出方程，聯(lián)立即可求解最小值，從而求出范圍．

解答 解：（1）小球釋放后沿圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
碰釘子瞬間前后小球運(yùn)動(dòng)的速率不變，碰釘子后瞬間圓周運(yùn)動(dòng)半徑為$\frac{1}{2}$l，
碰釘子后瞬間線的拉力為F，由牛頓第二定律得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{\frac{l}{2}}$
解得：F=5mg＜9mg，所以細(xì)線不會(huì)被拉斷，
（2）設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=l-AD=l-$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：
F-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$結(jié)合F≤9mg
由機(jī)械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$+r₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上式聯(lián)立解得：x₁≤$\frac{2}{3}l$
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來(lái)越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來(lái)越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小，當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí)，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．
設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，
則：AG=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$，r₂=l-AG=l-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
在最高點(diǎn)：mg≤$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{2}}$由機(jī)械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$-r₂）=$\frac{1}{2}$mv₁²
聯(lián)立得：x₂≥$\frac{\sqrt{7}}{6}l$
釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值范圍是：$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$
答：（1）細(xì)線與釘子第一次碰撞后，細(xì)線不會(huì)被拉斷；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值范圍為$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理，要求同學(xué)們解題時(shí)能熟練運(yùn)用動(dòng)能定理并結(jié)合幾何知識(shí)解題，難度較大．