Question

13．如圖，水平地面上有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直擋板，擋板高h(yuǎn)=9m，與擋板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m，擋板的左側(cè)以及擋板上端與筐口的連線上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；質(zhì)量m=1×10^-3kg、電荷量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），以某一速度從底部小孔水平向左射入場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若小球與檔板碰后以原速率反向彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電荷量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及最大半徑；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最小速率．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故電場(chǎng)力與重力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當(dāng)小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，根據(jù)幾何關(guān)系求解出半徑．根據(jù)周期公式求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子的最小半徑，根據(jù)半徑公式求出最小速率的大小．

解答 解：（1）因小球能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以有：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}=\frac{1{0}^{-2}}{1{0}^{-3}}N/C=10N/C$，
方向豎直向下．
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期T═$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×1{0}^{-3}}{1{0}^{-3}×1}s$=6.28s．

小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，如圖1所示，由幾何知識(shí)可得：
（h-R_m）²+s²=R_m²
求得：最大半徑 R_m=5m．
（3）因?yàn)樗俣确较蚺c半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上
R≥s=3m
設(shè)小球與檔板碰撞n次，其最大半徑為 要擊中目標(biāo)必有：$\frac{h}{n}≥3$
h=9m，代入解得 n≤1.5
n只能取0，1
當(dāng)n=0，即為（2）問(wèn)中的解
當(dāng)n=1，時(shí)可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₁=3m時(shí)半徑最小，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2中的軌跡①所示，有：
$q{v}_{min}B=m\frac{{{v}_{min}}^{2}}{{R}_{1}}$
可得最小速率 v_min=3m/s．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為10N/C，方向?yàn)樨Q直向下；
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為6.28s，最大半徑為5m；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最小速率為3m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到向心力來(lái)源，畫(huà)出軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，再聯(lián)立方程組求解