Question

13．同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用，其基本原理簡化為如圖所示的模型．M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板．質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子A（不計重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零．每當(dāng)A進入板間，兩板的電勢差變?yōu)閁，粒子得到加速，當(dāng)A離開N板時，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱悖畠砂逋獠看嬖诖怪奔埫嫦蚶锏膭驈姶艌觯珹在磁場作用下做半徑為R的圓周運動，R遠(yuǎn)大于板間距離．A經(jīng)電場多次加速，動能不斷增大，為使R保持不變，磁場必須相應(yīng)地變化．不計粒子加速時間及其做圓周運動產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場變化對粒子速度的影響及相對論效應(yīng)．求：
（1）A運動第1周時磁場的磁感應(yīng)強度B₁的大小；
（2）在A運動第n周的時間內(nèi)電場力做功的平均功率${\overline P_n}$．

Answer 1

分析 （1）對直線加速過程根據(jù)動能定理列式；對磁場中的圓周運動過程根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）A運動第2周的時間內(nèi)電場力做功為qU；先根據(jù)動能定理求解該過程的速度，然后根據(jù)線速度的定義公式求解時間；最后根據(jù)平均功率的定義求解平均功率．

解答 解：（1）設(shè)A經(jīng)電場第1次加速后速度為v₁，由動能定理得$qU=\frac{1}{2}mv_1^2-0$①
A在磁場中做勻速圓周運動，所受洛倫茲力充當(dāng)向心力$q{v_1}{B_1}=\frac{mv_1^2}{R}$②
由①②得${B_1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$③
（2）設(shè)A經(jīng)n次加速后的速度為v_n，由動能定理得$nqU=\frac{1}{2}mv_n^2-0$④
設(shè)A做第n次圓周運動的周期為T_n，有${T_n}=\frac{2πR}{v_n}$⑤
設(shè)在A運動第n周的時間內(nèi)電場力做功為W_n，則W_n=qU⑥
在該段時間內(nèi)電場力做功的平均功率為$\overline{P_n}=\frac{W_n}{T_n}$⑦
由④⑤⑥⑦解得$\overline{P_n}=\frac{qU}{πR}\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$⑧
答：（1）A運動第1周時磁場的磁感應(yīng)強度B₁的大小$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）在A運動第n周的時間內(nèi)電場力做功的平均功率$\frac{qU}{πR}\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確同步加速器的工作原理，然后結(jié)合動能定理、牛頓第二定律、電功率定義和幾何關(guān)系列式分析．