Question

6．如圖（a）所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上．導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好．在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場(chǎng)區(qū)域的右端，當(dāng)磁場(chǎng)以速度v₁勻速向右移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度，此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)．
（1）求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂；
（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過多少？
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？
（4）若t=0時(shí)磁場(chǎng)由靜止開始水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過較短時(shí)間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖（b）所示，已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棋睥瞬時(shí)速度大小為v_t，求導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）先由法拉第感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式，得到安培力與棒的速度關(guān)系表達(dá)式，由平衡關(guān)系可求得穩(wěn)定速度．
（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力不能大于剛開始時(shí)棒所受的安培力．
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒受到的安培力等于阻力，由公式P=Fv求單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功．電路中消耗的電功率由公式P=$\frac{{E}^{2}}{R}$．
（4）根據(jù)法拉第感應(yīng)定律求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，再由公式F=BIL求出安培力．由牛頓第二定律可求得加速度．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BL（v₁-v₂）
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{R}$
導(dǎo)體棒所受安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
導(dǎo)體棒速度恒定時(shí)有：F=f，可得：v₂=v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過所受的最大安培力，導(dǎo)體棒不動(dòng)時(shí)，安培力最大．
故阻力最大 f_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（3）根據(jù)能量守恒，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功，即摩擦力的功率，為
 P_{導(dǎo)體棒}=Fv₂=f（v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$）
電路中消耗的電功率 P_電路=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$=$\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（4）因?yàn)?$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$-f=ma，導(dǎo)體棒要做勻加速運(yùn)動(dòng)，必有v₁-v₂為常數(shù)，設(shè)為△v，則
體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度 a=$\frac{vt+△v}{t}$
則$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（at-{v}_{t}）}{R}$-f=ma，可解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{t}+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．
答：
（1）導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂是v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為f（v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$）和$\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．．
（4）導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{t}+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．

點(diǎn)評(píng) 由于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)使得穿過回路的磁通量發(fā)生變化，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒受到安培力從而開始沿磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方向做加速運(yùn)動(dòng)，需要注意的是使電路產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的速度v₂，不是導(dǎo)體棒的速度而是導(dǎo)體棒相對(duì)于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度，即兩者速度之差v₁-v₂，這是解決本題的關(guān)鍵所在．