Question

20．如圖示為倉(cāng)庫(kù)中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺(tái)皮帶傳送機(jī)組成，一臺(tái)水平傳送，A、B 兩端相距3m，另一臺(tái)傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以v₀=5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．將質(zhì)量為10kg 的一袋大米放在A 端，到達(dá)B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5．試求：
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離．
（2）若讓CD部分傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，并使米袋能被送到D 端．
①若要運(yùn)送的時(shí)間最短，試求出CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度大小、最短時(shí)間和電動(dòng)機(jī)消耗的電能．
②若要運(yùn)送的時(shí)間最長(zhǎng)，試求出CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度大小、最長(zhǎng)時(shí)間和電動(dòng)機(jī)消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應(yīng)判斷米袋到達(dá)B點(diǎn)時(shí)是否已達(dá)最大速度，若沒(méi)達(dá)到，則由位移與速度的關(guān)系可求得B點(diǎn)速度，若達(dá)到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關(guān)系可求得上升的最大距離；
（2）米袋在CD上應(yīng)做減速運(yùn)動(dòng)，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長(zhǎng)時(shí)間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應(yīng)一直減速，則可求得最短時(shí)間．結(jié)合功能關(guān)系求解電動(dòng)機(jī)消耗的電能．

解答 解：（1）米袋在AB上勻加速時(shí)的加速度 a₀=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²
米袋的速度達(dá)到v₀=6m/s時(shí)，滑行的距離 s₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜AB=3m，因此米袋在到達(dá)B點(diǎn)之前就有了與傳送帶相同的速度
設(shè)米袋在CD上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)得 a=10m/s²
所以能滑上的最大距離 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$m=1.25m
（2）設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₁時(shí)米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)（即米袋到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零），則米袋速度減為v₁之前的加速度為
  a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為
  a₂=g（sinθ-μcosθ）=2 m/s²
由$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$+$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=4.45m
解得：v₁=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
①若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時(shí)所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時(shí)間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₂t²_min，
代入數(shù)據(jù)得：最短時(shí)間 t_min=1.06s
米袋到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為 v=v₀+a₂t_min=5+2×1.06=7.12m/s，所以若要運(yùn)送的時(shí)間最短，CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度大小大于等于7.12m/s．
電動(dòng)機(jī)消耗的電能為 E_電=mgsinθ•S_CD+（$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$）+μmgcosθ（vt_min-S_CD）=519.35J
②米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時(shí)間最長(zhǎng)為 t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}$+$\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=2.1s
代入數(shù)據(jù)得：最長(zhǎng)時(shí)間 t_max=2.1s
此時(shí)CD部分的速度為 v_CD=v₁=4m/s
米袋速度減為v₁之前的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{4-5}{-10}$=0.1s
米袋速度小于v₁至減為零前的時(shí)間 t₂=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{0-4}{-2}$s=2s
電動(dòng)機(jī)消耗的電能為 E_電=mgsinθ•S_CD-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+μmgcosθ（$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t₁-v₁t₁+v₁t₂-$\frac{{v}_{1}+0}{2}{t}_{2}$）=304J
答：
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，米袋沿傳送帶所能上升的最大距離是1.25m．
（2）若讓CD部分傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，并使米袋能被送到D 端．
①若要運(yùn)送的時(shí)間最短，CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度大小大于等于7.12m/s、最短時(shí)間是1.06s，電動(dòng)機(jī)消耗的電能是519.35J．
②若要運(yùn)送的時(shí)間最長(zhǎng)，CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度大小是4m/s，最長(zhǎng)時(shí)間是2.1，電動(dòng)機(jī)消耗的電能是304J．

點(diǎn)評(píng) 本題難點(diǎn)在于通過(guò)分析題意找出臨條界件，注意米袋在CD段所可能做的運(yùn)動(dòng)情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零．